数学III / 微分法の計算

指数関数の微分

★ 基礎指数関数の微分

問題

関数 $y = e^{2 x}$ を微分せよ。

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$e$ の累乗の微分は形が変わらないのが持ち味。ただし中身が $2 x$ なので、その微分を掛ける。

解答・解説

方針

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (微分しても変わらない)。 $e^{2 x}$ は合成なので、 $e^{2 x}$ に内側 $2 x$ の微分 $2$ をかける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^{x}$ には、他のどんな関数にもない特別な性質がある。

$(e^{x})^{'} = e^{x}$

微分しても、自分自身。

これは驚くべきことだ。 $x^{2}$ を微分すれば $2 x$ になり、 $sin x$ は $cos x$ に化ける。形が変わる。

だが $e^{x}$ だけは、微分しても $e^{x}$ のまま。 姿が変わらない。

$e$ という数( $2.718 \dots$ )は、この性質をもつように選ばれた底なのである。

さて、 $e^{2 x}$ は合成関数だ。

外側: $e^{()}$
内側: $2 x$

$y^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$

外側は変わらず、内側の微分 $2$ が前に出る。

「 $e^{x}$ は不変、合成なら中身の微分を掛ける」 — この $2$ 点で、指数の微分はすべて処理できる。

公式

(e^{x})^{'} = e^{x}

(微分しても自分自身)。合成なら

(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}

$u = 2 x$ 、 $u^{'} = 2$ 。

$y^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$

まとめ: $e^{x}$ は微分しても $e^{x}$ のまま(この性質が指数関数の特別なところ)。中身が $2 x$ なら連鎖律で $\times 2$ 。 $e^{(中身)}$ はそのまま残り、中身の微分が前に出る。

発展 — 一歩先へ。 「微分しても変わらない関数」は、 $e^{x}$ のほかにあるだろうか。

方程式で書くと、こうだ。

$y^{'} = y$

「変化率が、自分自身に等しい」

この方程式を満たす関数を、すべて求めてみよう。

$\frac{y ^{'}}{y} = 1$

左辺は $(lo g y)^{'}$ だ。 両辺を積分すると

$lo g y = x + C$

$y = e^{x + C} = e^{C} \cdot e^{x} = A e^{x} (A = e^{C})$

答えは $y = A e^{x}$ — $e^{x}$ の定数倍だけ。

$y^{'} = y$ を満たす関数は、本質的に $e^{x}$ しかない。

そして、この方程式は自然界のいたるところに現れる。

$y^{'} = y$ の意味は「増える速さが、今の量に比例する」。

細菌の増殖: 菌が多いほど、分裂して増える数も多い
複利: 元本が多いほど、利息も多い
放射性崩壊: 原子が多いほど、崩壊する数も多い(こちらは $y^{'} = - k y$ で減少)
ムーアの法則: 技術が進むほど、次の進歩も速い

すべて $y^{'} = k y$ の形で、解は $y = A e^{k x}$ 。

「指数関数的」という言葉が、これほど使われる理由がここにある。

「自分自身に比例して変化する」システムは、必ず指数関数になる。

そして、 $k$ の符号で運命が分かれる。

$y = A e^{k x}$

$k > 0$ → 爆発(細菌・複利・パンデミック)
$k < 0$ → 消滅(放射性崩壊・薬の代謝・冷却)

$e$ という数は、この方程式のために存在する。

もし底が $2$ なら

$(2^{x})^{'} = 2^{x} lo g 2 \approx 0.693 \times 2^{x}$

余計な係数 $lo g 2$ がつく。

底が $10$ なら $lo g 10 \approx 2.303$ が。

底が $e$ のときだけ、係数が $1$ になる。

$(e^{x})^{'} = e^{x} \times lo g e = e^{x} \times 1 = e^{x}$

$e$ は「微分の係数が $1$ になる、ただ $1$ つの底」なのだ。

この $1$ つの性質のために、微積分の世界では $e$ が王座に座っている。 自然対数の「自然」とは、この意味である。

答

$y^{'} = 2 e^{2 x}$

別解

$e^{2 x}$ を「 $e^{x}$ の $2$ 乗」と見て、積の微分で解く。

指数法則を思い出そう。

$e^{2 x} = e^{x + x} = e^{x} \cdot e^{x}$

合成関数ではなく、 $2$ つの $e^{x}$ の積だと見るのだ。

積の微分公式を使う。 $f = g = e^{x}$ とする。

$f^{'} = e^{x}, g^{'} = e^{x}$

$y^{'} = f^{'} g + f g^{'} = e^{x} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot e^{x} = 2 e^{x} \cdot e^{x} = 2 e^{2 x}$

本解と同じ答え ✓

連鎖律を使わずに、積の微分だけで解けた。

この計算が示すこと。

$(e^{2 x})^{'} = 2 e^{2 x}$ の $2$ は、「 $e^{x}$ が $2$ 個ある」ことから来ている。

片方を微分するときに、もう片方はそのまま残る。 $2$ 通りの微分の仕方があるから、 $2$ 倍になる。

この見方を、 $e^{3 x}$ に広げてみよう。

$e^{3 x} = e^{x} \cdot e^{x} \cdot e^{x}$

$3$ つの積の微分は

$(f g h)^{'} = f^{'} g h + f g^{'} h + f g h^{'}$

すべて $e^{x}$ だから、 $3$ 項とも $e^{x} \cdot e^{x} \cdot e^{x} = e^{3 x}$ になる。

$(e^{3 x})^{'} = 3 e^{3 x}$

連鎖律の答えと一致する ✓

「 $n$ 個の積だから、 $n$ 通りの微分がある。だから $n$ 倍」

係数 $n$ の意味が、はっきり見えた。

もう $1$ つ、対数微分法という道もある。

両辺の対数をとる。

$lo g y = lo g e^{2 x} = 2 x$

両辺を $x$ で微分する。 左辺は合成関数( $lo g y$ の $y$ が $x$ の関数)だから

$\frac{y ^{'}}{y} = 2$

$y^{'} = 2 y = 2 e^{2 x}$

$3$ つ目の道でも、同じ答え ✓

対数微分法の威力は、 $y = x^{x}$ のような"手も足も出ない"関数で発揮される。

$lo g y = x lo g x ⟹ \frac{y ^{'}}{y} = lo g x + 1 ⟹ y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

指数の肩に $x$ がある関数は、普通の公式では微分できない。 対数をとって、掛け算を足し算に変えるのだ。

$1$ つの関数に、 $3$ つの道。 どれも同じ答えに着く。数学の一貫性を、自分の手で確かめられる。

ポイント

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ (不変)。
$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ 。中身の微分を前に。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を忘れて $e^{2 x}$ とする。 $e^{x}$ の微分が $e^{x}$ なのは、肩がちょうど $x$ のときだけ
$(e^{2 x})^{'} = 2 x e^{2 x}$ のように、内側そのもの( $2 x$ )を掛けてしまう。掛けるのは内側の"微分"( $2$ )
$(e^{2 x})^{'}$ を $e^{2 x}$ の肩を下ろして $2 x e^{2 x - 1}$ とする(べき関数と混同)。 $x^{n}$ の微分と $e^{x}$ の微分は別物