逆関数の微分係数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆関数の導関数は、公式 $(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$ で、元の関数 $f$ の微分だけで求まる。$f^{-1}$ を具体的に求めなくてよい。

$a=1$ なので、まず $f^{-1}(1)$、すなわち $f(x)=1$ を満たす $x$ を見つける。

$f(x)=x+e^x$ を見ると、$x=0$ で $f(0)=0+1=1$。だから $f^{-1}(1)=0$。

あとは $f^{\prime }(0)$ を計算し、その逆数をとる、と見通す。

① $f^{-1}(1)$ を求める。 $f(x)=x+e^x=1$ となる $x$ を探す。$x=0$ のとき $f(0)=0+e^0=0+1=1$。よって $f^{-1}(1)=0$。

② $f^{\prime }$ を計算する。 $f^{\prime }(x)=1+e^x$。$f^{\prime }(0)=1+e^0=1+1=2$。

③ 公式に代入する。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(1))}=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{2}$$

まとめ:逆関数の微分係数は「$(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}$」で、$f^{-1}$ を求めずに $f$ の微分だけで出る。$f(x)=1$ の解 $x=0$ を見つけ($f^{-1}(1)=0$)、$f^{\prime }(0)=2$ の逆数 $\frac{1}{2}$。逆関数のグラフの傾きは元のグラフの傾きの逆数、というのが背景。

発展 — 一歩先へ。 逆関数のグラフは、元のグラフを直線 $y=x$ で折り返したもの。折り返すと縦横が入れ替わるので、傾きは逆数になる。点 $(0,1)$ が $(1,0)$ に移り、傾き $2$ が $\frac{1}{2}$ に化ける。

そもそも $f$ が逆関数をもつのは、$f^{\prime }(x)=1+e^x>0$ で常に増加だから。単調増加なら $1$ 対 $1$ で、逆向きにたどれる。

「傾きが逆数」は、$f(f^{-1}(x))=x$ を微分すれば出る自然な帰結。逆関数の微分は、この折り返しの幾何を式にしたものだ。

別解

別解 — 恒等式 $f(f^{-1}(x))=x$ を微分して導く(得意な人向けの視点)。 公式を暗記せず、逆関数の定義式から作れる。

$g=f^{-1}$ とおくと、逆関数の定義から $f(g(x))=x$ が恒等的に成り立つ。両辺を $x$ で微分する。左辺は合成関数の微分で

$$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=1,\text{よって}{g}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(g(x))}.$$

これが逆関数の微分公式そのもの。$x=1$ を入れると、$g(1)=f^{-1}(1)=0$(なぜなら $f(0)=1$)だから

$$g^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{1+e^0}=\frac{1}{2}.$$

公式に当てはめる本解と同じ。$f(g(x))=x$ を微分するだけで公式が出るので、忘れてもその場で導ける。合成関数の微分が「$f^{\prime }\times g^{\prime }$」になることが、逆数の正体だ。