数学III / 微分法の計算

第n次導関数(指数と1次式の積)

★★★★ 難関高次導関数積の微分

問題

$y = x e^{2 x}$ の第 $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ を求めよ。

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$y = x e^{2 x}$ を数回微分して、 $e^{2 x}$ の前の $1$ 次式と $2$ のべきの規則を見つける。 $1, 2$ 回微分した結果を並べて一般項を推測。

解答・解説

方針

積の微分を数回行い、規則を見つける。 $y^{'} = (2 x + 1) e^{2 x}$ 、 $y^{''} = (4 x + 4) e^{2 x}$ 、 $\dots$ と、 $e^{2 x}$ の係数( $1$ 次式)と $2$ のべきの規則を読み取る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 第 $n$ 次導関数は数回微分して規則を推測する。

$y = x e^{2 x}$ は積なので、微分のたびに積の微分で $e^{2 x}$ の前の $1$ 次式が変わり、 $2$ のべきが増える。

$1, 2, 3$ 回微分した結果を並べる。

$e^{2 x}$ の係数( $1$ 次式)と $2$ のべきのパターンを読み取って一般化する、と見通す。

重要第

n

次導関数は、数回微分して規則を推測。

e^{2 x}

を含む積では、微分のたびに

2

が現れる

① 数回微分する。 積の微分( $e^{2 x}$ の微分は $2 e^{2 x}$ )で

$y^{'} = e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = (2 x + 1) e^{2 x}$ $y^{''} = 2 e^{2 x} + (2 x + 1) \cdot 2 e^{2 x} = (4 x + 4) e^{2 x} = 2 (2 x + 2) e^{2 x}$ $y^{'''} = 2 \cdot 2 e^{2 x} + (4 x + 4) \cdot 2 e^{2 x} = (8 x + 12) e^{2 x} = 4 (2 x + 3) e^{2 x}$

② 規則を読む。 $e^{2 x}$ の係数は $(2 x + 1), 2 (2 x + 2), 4 (2 x + 3), \dots$ 。 $2$ のべきは $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \dots = 2^{n - 1}$ 、かっこ内は $2 x + n$ 。よって

$y^{(n)} = 2^{n - 1} (2 x + n) e^{2 x}$

③ 確認。 $n = 1$ : $(2 x + 1) e^{2 x}$ 、 $n = 2$ : $2 (2 x + 2) e^{2 x}$ 。上の計算と一致。

まとめ:第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を推測」。 $x e^{2 x}$ は微分のたびに $2$ のべきが増え( $2^{n - 1}$ )、 $e^{2 x}$ の前の $1$ 次式が $2 x + n$ に。 $1, 2, 3$ 回の結果でパターンを確信してから一般化する。

発展 — 一歩先へ。 積の $n$ 次導関数には、ライプニッツの公式 $(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}$ がある。二項定理とそっくりの形だ。

$y = x \cdot e^{2 x}$ は $u = x$ が $1$ 次式なので、 $u^{''} = 0$ 以降が消え、 $k = 0, 1$ の $2$ 項だけ残る。だから一般項が短くまとまる。

$x^{m} e^{2 x}$ なら残るのは $m + 1$ 項。「片方が多項式なら、その次数ぶんだけ項が残る」というのが、規則がきれいになる理由。パターン推測の裏に、ライプニッツの公式という保証がある。

答

$y^{(n)} = 2^{n - 1} (2 x + n) e^{2 x}$

別解

別解 — ライプニッツの公式で一気に出す(得意な人向けの視点)。 数回微分して規則を推測するかわりに、積の $n$ 次導関数の公式を使うと途中を飛ばせる。

$u = x$ 、 $v = e^{2 x}$ とおく。 $u^{'} = 1$ 、 $u^{''} = 0$ なので、ライプニッツの公式は $k = 0, 1$ の $2$ 項だけ残る。

$y^{(n)} = (0 n) x (e^{2 x})^{(n)} + (1 n) (1) (e^{2 x})^{(n - 1)} .$

$e^{2 x}$ は微分のたびに $2$ 倍だから $(e^{2 x})^{(n)} = 2^{n} e^{2 x}$ 。 $(0 n) = 1$ 、 $(1 n) = n$ を入れると

$y^{(n)} = x \cdot 2^{n} e^{2 x} + n \cdot 2^{n - 1} e^{2 x} = 2^{n - 1} (2 x + n) e^{2 x} .$

低次から規則を読む本解と同じ。 $u = x$ が $1$ 次式なので $2$ 項で終わる、と最初から分かるのがこの公式の強み。推測に頼らず、いきなり一般項へ到達できる。

ポイント

$y^{'} = (2 x + 1) e^{2 x}$ 、 $y^{''} = 2 (2 x + 2) e^{2 x}$ 、 $y^{'''} = 4 (2 x + 3) e^{2 x}$ 。
規則より $y^{(n)} = 2^{n - 1} (2 x + n) e^{2 x}$ 。

よくある間違い

$e^{2 x}$ の微分で $2$ を掛け忘れる。
$2$ のべき( $2^{n - 1}$ )やかっこ内( $2 x + n$ )の規則を取り違える。
積の微分で、 $x$ の項の寄与( $e^{2 x}$ の微分ぶん)を落とす。