数学III / 微分法の計算

微分できるのに導関数が連続でない関数

最難関編微分の定義はさみうち導関数の不連続

問題

関数 $f$ を次で定める。

$f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} sin \frac{1}{x} 0 (x \neq = 0) (x = 0)$

(1) $f$ は $x = 0$ で微分可能であり $f^{'} (0) = 0$ であることを、微分の定義に従って示せ。

(2) $x \neq = 0$ における $f^{'} (x)$ を求めよ。

(3) $x \to 0 lim f^{'} (x)$ は存在しないことを示せ。すなわち $f^{'}$ は $x = 0$ で連続でない。

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(1) 差の商を書くと $sin$ の前に $h$ が1つ残る。暴れる部分に何が掛かっているかを見よ。

(3) $x \to 0$ の近づけ方は自由に選べる。 $cos \frac{1}{x}$ の値を狙って固定できる $x$ の列を作れるか。

解答・解説

方針

(1)は定義の差の商を書き、 $sin$ の有界性ではさみうちにする。(2)は積の微分と合成関数の微分。(3)は「近づけ方を自分で選ぶ」。 $cos \frac{1}{x}$ が $+ 1$ になる列と $- 1$ になる列を、ともに $0$ に収束するように作る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin \frac{1}{x}$ は $x \to 0$ で無限に速く振動する。値は $- 1$ と $1$ を行き来し、極限を持たない。

だがその前に $x^{2}$ が掛かっている。振動の振幅が $x^{2}$ で押さえつけられているのだ。押さえの強さが鍵になる。 $x^{2}$ は $h$ で割ってもまだ $h$ が残る。だから微分係数は存在する。

ところが導関数を計算すると、合成関数の微分から $cos \frac{1}{x}$ が単独で顔を出す。こちらには押さえが効かない。ここに「微分できるのに導関数が連続でない」の正体がある。

定理はさみうちの原理:

∣ g (h) ∣ \leq M (h)

かつ

M (h) \to 0

ならば

g (h) \to 0

① (1) 定義に戻る。 $f (0) = 0$ だから、差の商は

$\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{h ^{2} sin \frac{1}{h}}{h} = h sin \frac{1}{h}$

$sin \frac{1}{h} \leq 1$ なので $h sin \frac{1}{h} \leq ∣ h ∣$ 。右辺は $h \to 0$ で $0$ に行く。はさみうちより差の商の極限は $0$ である。よって $f$ は $x = 0$ で微分可能で $f^{'} (0) = 0$ 。

② (2) $x \neq = 0$ では普通に微分する。 積の微分と合成関数の微分を使う。 $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ に注意して

$f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} + x^{2} \cdot cos \frac{1}{x} \cdot (- \frac{1}{x ^{2}}) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}$

第1項は $∣2 x sin \frac{1}{x} ∣ \leq 2∣ x ∣$ で $0$ に押さえ込まれる。第2項 $cos \frac{1}{x}$ は振幅 $1$ のまま残る。ここが急所だ。

y=x^2 sin(1/x) は帯 |y|<=x^2(破線)に閉じ込められる。原点に近づくほど振動は速くなるが、振幅は x^2 につぶされて 0 に落ちる。だから x=0 での接線の傾きは 0 になる(図は |x|>=0.028 の部分。原点の直近では振動が細かすぎて描けない)

③ (3) 近づけ方を2つ作る。 $x_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ とおくと $\frac{1}{x _{n}} = 2 nπ$ だから

$f^{'} (x_{n}) = 2 x_{n} sin 2 nπ - cos 2 nπ = 0 - 1 = - 1$

$y_{n} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π}$ とおくと $\frac{1}{y _{n}} = (2 n + 1) π$ だから

$f^{'} (y_{n}) = 2 y_{n} sin (2 n + 1) π - cos (2 n + 1) π = 0 - (- 1) = 1$

$n \to \infty$ のとき $x_{n} \to 0$ 、 $y_{n} \to 0$ である。ところが $f^{'}$ の値は一方では $- 1$ 、他方では $1$ 。もし $lim_{x \to 0} f^{'} (x)$ が存在するなら、どんな近づけ方でも同じ値に収束しなければならない。 $- 1$ と $1$ の両方になることはありえない。よって極限は存在しない。

導関数 y=f'(x)=2x sin(1/x) - cos(1/x)。x を 0 に近づけると、値は +1 と -1 のあいだを何度でも往復し、どこにも落ち着かない(振幅は 1 に近づく)。f'(0)=0 なのに、その近くの傾きは 0 に近づかない

まとめ: 「 $x = 0$ で微分できる」ことと「導関数が $x = 0$ で連続」は別物である。 $f^{'} (0) = 0$ は差の商の極限で決まる値であり、 $f^{'} (x)$ の $x \to 0$ の極限とは何の関係もない。この2つを結びつける定理は存在しないのだ。

発展 — 一歩先へ。 押さえつけの指数を変えると、滑らかさが1段ずつ変わる。 $x sin \frac{1}{x}$ ( $x = 0$ で $0$ )なら差の商は $sin \frac{1}{h}$ そのもので、振動して極限がない。つまり連続だが微分できない。 $x^{3} sin \frac{1}{x}$ なら導関数は $3 x^{2} sin \frac{1}{x} - x cos \frac{1}{x}$ となり、今度は $x cos \frac{1}{x}$ も $0$ に押さえ込まれるので、導関数まで連続になる。「どこまで滑らかか」を指数で測る、という見方の入り口である。

答

(1) 差の商は $h sin \frac{1}{h}$ で $h sin \frac{1}{h} \leq ∣ h ∣ \to 0$ 。よって $f^{'} (0) = 0$ (2) $f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x}$ (3) $x = \frac{1}{2 nπ}$ では $f^{'} = - 1$ 、 $x = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π}$ では $f^{'} = 1$ 。 $0$ に近づけても値が $\pm 1$ を往復するので極限はない

別解

(3)を背理法で見る(高い視点)。 導関数の極限には、実は強い制約がある。

仮に $lim_{x \to 0} f^{'} (x) = L$ が存在したとしよう。 $h \neq = 0$ をとると、平均値の定理より $0$ と $h$ のあいだに $c_{h}$ があって

$\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = f^{'} (c_{h})$

が成り立つ。 $h \to 0$ とすると $c_{h} \to 0$ だから、右辺は $L$ に近づく。左辺は(1)より $f^{'} (0) = 0$ に近づく。したがって $L = 0$ でなければならない。

ところが②の式で $x = \frac{1}{2 nπ}$ とすれば $f^{'} = - 1$ であり、 $0$ のいくらでも近くに $f^{'} = - 1$ となる点がある。これは $f^{'} (x) \to 0$ と矛盾する。よって $L$ は存在しない。

この論法は、次の一般則を教えてくれる。導関数の極限 $lim_{x \to a} f^{'} (x)$ が存在するならば、それは必ず $f^{'} (a)$ に一致する。言いかえると、導関数は「飛び」を持てない。持てるのは、この問題のような「振動」だけなのだ。

ポイント

微分の定義に戻れば、 $h sin \frac{1}{h}$ ははさみうちで $0$ 。
導関数には $cos \frac{1}{x}$ が押さえなしで残る。
極限の非存在は「2つの近づけ方で違う値」で示す。

よくある間違い

$sin \frac{1}{x}$ に極限がないから $f$ も微分できない、と早合点する。振幅が $x^{2}$ で押さえられている点を見落としている。定義の差の商を実際に書けば、はさみうちが効くことがすぐ見える。
(2)の合成関数の微分で $(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ の負号を落とし、 $f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} + cos \frac{1}{x}$ としてしまう。(3)の結論は符号を落としても出てしまうので、間違いに気づけない。
(3)から「 $f^{'} (0)$ も存在しない」と結論する。 $f^{'} (0)$ は差の商の極限で決まる値で、 $f^{'} (x)$ の $x \to 0$ の極限とは別物である。この2つの混同こそ、本問が壊そうとしている思い込みだ。