媒介変数表示の微分(円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数表示の微分は、$t$ での微分の比で求まる。$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ だ。

$x=\cos t$、$y=\sin t$ をそれぞれ $t$ で微分して比をとると、$\frac{\cos t}{-\sin t}$ になる。

この曲線は単位円だ。出てきた傾きを、円という具体的な図形の上で確かめられる。

① $t$ でそれぞれ微分する。

$$\frac{dx}{dt}=(\cos t{)}^{\prime }=-\sin t,\frac{dy}{dt}=(\sin t{)}^{\prime }=\cos t$$

② 比をとる。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\frac{\cos t}{\sin t}$$

まとめ:$x=\cos t$、$y=\sin t$ は単位円。$\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}$ は、円周上の点での接線の傾き。円の接線は半径 $(\cos t,\sin t)$ に垂直で、傾きが $-\frac{\cos t}{\sin t}$(半径の傾き $\frac{\sin t}{\cos t}$ の逆数の $-1$ 倍)になる、と幾何的にも一致する。

発展 — 一歩先へ。 点 $(\cos t,\sin t)$ が動くときの速度ベクトルは $\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)=(-\sin t,\cos t)$。その大きさは $\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=1$ で、$t$ によらずつねに一定だ。

速さが $1$ で一定ということは、点は円周上を同じペースで進んでいる。だから媒介変数 $t$ は、進んだ道のり(弧の長さ)そのものを表す。半径 $1$ の円で中心角 $t$ の弧の長さがちょうど $t$ になる、あの関係と同じことだ。

こうして「速さが一定になるパラメータ」で曲線をたどる見方を、弧長パラメータという。曲線を弧の長さで測ると、速度や接線の向きの扱いが簡潔になる。一定の速さで円をまわるこの発想は、物理の等速円運動ともそのままつながっている。

別解

別解 — パラメータを消して $x$ の関数にする(得意な人向けの視点)。 $t$ を消してしまえば、ふつうの $y=f(x)$ の微分に持ち込める。

$0<t<\pi$ では $y=\sin t>0$ だから、$x=\cos t$、$y=\sin t$ から $y=\sqrt{1-x^2}$。これを $x$ で微分すると

$$\frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$

ここで $x=\cos t$、$\sqrt{1-x^2}=\sin t$ を戻すと、$\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}$。

比をとる本解と同じ答え。パラメータを消せる曲線なら、陽関数にしてから微分しても結果は一致する。ただし今回のように、定義域($y>0$ の半円)を先に見きわめる必要がある。