合成関数の微分(指数×三角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^{\sin x}$ は、$e^{()}$ の中身が $\sin x$ になっている合成関数だ。

合成関数は連鎖律で微分する。外側 $e^{()}$ はそのまま、内側 $\sin x$ の微分 $\cos x$ を掛ける。

指数の肩が三角関数でも、やることは同じ。中身の微分を掛ける、この一手を適用するだけだ。

$u=\sin x$、$u^{\prime }=\cos x$。

$$y^{\prime }=e^{\sin x}\times \cos x=\cos x{e}^{\sin x}$$

まとめ:$e^{(\text{中身})}$ の微分は「$e^{(\text{中身})}$ そのまま × 中身の微分」。中身が $\sin x$ なら、その微分 $\cos x$ が前に出る。指数関数と三角関数が組み合わさっても、連鎖律を一段適用するだけだ。

発展 — 一歩先へ。 導関数 $y^{\prime }=\cos x{e}^{\sin x}$ が $0$ になるのは、$e^{\sin x}>0$ だから $\cos x=0$ のとき、つまり $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$。これは $\sin x$ の最大・最小の場所とぴったり同じだ。

理由は、外側の $e^{()}$ が増加関数だから。増加関数を通しても、山や谷の位置は動かない。$\sin x$ が最大の所で $e^{\sin x}$ も最大になる。

この「単調な変換は最大・最小の場所を変えない」性質は広く使われる。統計で、扱いにくい積 $L$ の最大を、対数をとった $\log L$ の最大に置きかえて探すのは、まさにこの原理だ。

別解

別解 — 微分の定義に戻って導く(得意な人向けの高い視点)。 公式 $(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ を使わず、微分の定義そのものから同じ結果を出せる。

定義より

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin (x+h)}-e^{\sin x}}{h}=e^{\sin x}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{\sin (x+h)-\sin x}-1}{h}.$$

ここで肩の増分を $\delta =\sin (x+h)-\sin x$ とおく。$h\to 0$ のとき $\delta \to 0$ で、しかも $\frac{\delta }{h}\to (\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ だ。

すると $\frac{e^{\delta }-1}{h}=\frac{e^{\delta }-1}{\delta }\cdot \frac{\delta }{h}$ の右辺は、$\frac{e^{\delta }-1}{\delta }\to 1$ と $\frac{\delta }{h}\to \cos x$ の積で、$\cos x$ に収束する。

$$y^{\prime }=e^{\sin x}\cdot \cos x=\cos x{e}^{\sin x}.$$

連鎖律を使う本解と同じ答え。定義に戻ると、$(e^u{)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ が「外側 $e^u$ の伸び $\times$ 肩 $u$ の伸び $\cos x$」として立ち上がる様子まで見える。