逆関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆関数の微分は、$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$、つまり元の微分の逆数で求まる。

だからまず $\frac{dy}{dx}$ を計算し、その逆数をとればよい。

入力と出力を入れ替えた微分は、元の微分の逆数になる。この発想を押さえておく。

① $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$$\frac{dy}{dx}=3x^2+1$$

② 逆数をとる。

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{3x^2+1}$$

③ $x=1$ での値。

$$\frac{dx}{dy}{|}_{x=1}=\frac{1}{3\cdot 1+1}=\frac{1}{4}$$

まとめ:逆関数の微分は「$\frac{dy}{dx}$ の逆数」。分数のようにひっくり返すだけ。逆関数 $x=g(y)$ を実際に求めなくても、$\frac{dx}{dy}$ が $x$ の式で得られる。$y=x^3+x$ は逆関数を式で書けないが、微分係数は逆数で分かる。

発展 — 一歩先へ。 この問題の妙味は、逆関数を式で書かずに導関数だけ手に入る点にある。$y=x^3+x$ の逆関数は $3$ 次方程式を解くことになり、根の公式を使っても複雑だ。それでも $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2+1}$ はきれいな分数式になる。

逆関数は求めにくいが、その微分は元の微分の逆数で簡単に出る。これが逆関数の微分の値打ちだ。得られた式が $y$ でなく $x$ の関数のままなのも、$y$ で書くには結局 $3$ 次方程式を解く必要があるからだ。

式から逆関数の姿も読める。$x=0$($y=0$)で $\frac{dx}{dy}=1$、$|x|$ が大きいと $\frac{dx}{dy}\to 0$。元の $y=x^3+x$ が急になる所ほど、逆関数はゆるやかになる。傾きが逆数だと、片方が立てば片方は寝る。

別解

別解 — 両辺を $y$ で微分する(得意な人向けの視点)。 $\frac{dy}{dx}$ を作って逆数をとるかわりに、$x$ を $y$ の関数とみて、定義式そのものを $y$ で微分してもよい。

$y=x^3+x$ の両辺を $y$ で微分する。左辺は $\frac{dy}{dy}=1$。右辺は $x$ が $y$ の関数なので、連鎖律で $(3x^2+1)\frac{dx}{dy}$ になる。よって

$$1=(3x^2+1)\frac{dx}{dy}⟹\frac{dx}{dy}=\frac{1}{3x^2+1}.$$

$x=1$ を入れると $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{4}$。

逆数公式を当てはめる本解と同じ答え。$\frac{dy}{dx}$ をいったん作ってからひっくり返すのではなく、はじめから $\frac{dx}{dy}$ を未知数として式を微分する。逆数公式 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ は、この $1=(3x^2+1)\frac{dx}{dy}$ を解いた結果にほかならない。