対数微分法(指数に対数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=x^{\log x}$ は「底も指数も $x$ がらみ」。指数法則の微分公式($(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$ など)がそのままでは使えない。

こういうときは対数微分法。両辺の自然対数をとると、指数が前に下りる。

$\log y=(\log x)\cdot \log x=(\log x{)}^2$ と、扱いやすい式になる。

両辺を $x$ で微分すると左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。あとは $y^{\prime }$ について解く、と見通す。

① 両辺の対数をとる。 $y=x^{\log x}$ の対数をとると、指数が前に下りて

$$\log y=(\log x)\cdot \log x=(\log x{)}^2$$

② 両辺を微分する。 左辺は $\frac{y^{\prime }}{y}$。右辺は $(\log x{)}^2$ の合成関数の微分で $2\log x\cdot \frac{1}{x}$。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2\log x}{x}$$

③ $y^{\prime }$ を求める。 $y=x^{\log x}$ を掛けて

$$y^{\prime }=x^{\log x}\cdot \frac{2\log x}{x}$$

まとめ:底も指数も変数がらみのときは対数微分法。$\log y=(\log x{)}^2$ と単純化し、両辺微分で $\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2\log x}{x}$。最後に $y$($=x^{\log x}$)を掛けて戻す。$(\log x{)}^2$ の微分(連鎖律)を落とさない。

発展 — 一歩先へ。 底も指数も変数の $y=f^g$ は、対数をとると $\log y=g\log f$。微分すると $\frac{y^{\prime }}{y}=g^{\prime }\log f+g\frac{f^{\prime }}{f}$ で、「指数関数ぶん」と「べき関数ぶん」の和になる。

今回の $x^{\log x}$ は、$\log y=(\log x{)}^2$ が $x=1$($\log x=0$)で最小 $0$。だから $y=x^{\log x}$ は $x=1$ で最小値 $1$ をとる。$x^{\prime }(1)=0$ になるのはそのためだ。

対数をとる操作は、掛け算やべきを足し算に変え、複雑な形を見通しよくする。微分だけでなく、大小比較や極値の判定でも同じ発想が効く。

別解

別解 — $e$ の肩に乗せて直接微分する(得意な人向けの視点)。 対数をとって $y^{\prime }$ を解くかわりに、はじめから指数関数の形に書きかえてしまう。

$x=e^{\log x}$ だから

$$x^{\log x}={\left(e^{\log x}\right)}^{\log x}=e^{(\log x{)}^2}.$$

これは $e^{()}$ の合成関数。${\left(e^u\right)}^{\prime }=e^u{u}^{\prime }$ で、$u=(\log x{)}^2$、$u^{\prime }=2\log x\cdot \frac{1}{x}$ を使うと

$$y^{\prime }=e^{(\log x{)}^2}\cdot \frac{2\log x}{x}=x^{\log x}\cdot \frac{2\log x}{x}.$$

対数微分法の本解と同じ。$a^{()}$ 型はすべて $e^{()\log a}$ に直せる、と覚えておくと、対数をとらずに合成関数の微分だけで押し切れる。「底に変数」の関数を $e$ の肩に集めるのは万能の一手だ。