数学III / 微分法の計算

合成関数の微分(対数)

★★ 標準対数関数の微分合成関数の微分

問題

関数 $y = lo g (x^{2} + 1)$ を微分せよ。

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対数の微分は『中身の微分 ÷ 中身』。中身が $2$ 次式でも同じ枠組みで扱える。

解答・解説

方針

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。 $u = x^{2} + 1$ 、 $u^{'} = 2 x$ 。分子が内側の微分、分母が中身。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $lo g$ の中身が $x$ でなく $x^{2} + 1$ — 合成関数だ。対数の合成には専用の速記がある。

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

「分子に中身の微分、分母に中身」。 $u = x^{2} + 1$ なら $u^{'} = 2 x$ で

$y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

$x^{2} + 1 > 0$ が常に成り立つから真数条件の心配も絶対値も不要 — この形はそのまま書けばよい。

公式

(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

$u = x^{2} + 1$ 、 $u^{'} = 2 x$ 。

$y^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

まとめ: $lo g (中身)$ の微分は $\frac{( 中身の微分 )}{( 中身 )}$ 。中身 $x^{2} + 1$ の微分 $2 x$ が分子に。真数がつねに正( $x^{2} + 1 > 0$ )なので、定義域の心配もない使いやすい形だ。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{u ^{'}}{u}$ という形には「対数微分 $=$ 変化率」という意味がある。 $(lo g u)^{'}$ は $u$ の瞬間の変化率(何 % 伸びているか)を表す量で、経済の成長率・音の大きさ(デシベル)・地震のマグニチュードなど、比で測る量の解析の基礎になっている。

また、答え $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ は積分の単元で再会する顔だ。 $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = lo g (x^{2} + 1) + C$ — 「分子が分母の微分」の形を見たら $lo g$ を思い出す、という逆向きの読みが、積分の重要な技になる。

答

$y^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

別解

答えの式 $\frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ を、対称性で検算する目を紹介する。

もとの関数 $y = lo g (x^{2} + 1)$ は、 $x$ を $- x$ に替えても値が変わらない偶関数(グラフは $y$ 軸対称の谷型)だ。

$y$ 軸対称のグラフでは、 $x = a$ と $x = - a$ での接線の傾きは符号だけ反対になる。つまり偶関数の導関数は奇関数になるはずだ。

答えを検分すると

$\frac{2 ( - x )}{( - x ) ^{2} + 1} = - \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$

確かに奇関数 — 検算合格。さらに $x = 0$ で $y^{'} = 0$ (谷底で水平)、 $x > 0$ で $y^{'} > 0$ (右半分は登り)も、グラフの絵と一致する。

「偶関数の微分は奇関数、奇関数の微分は偶関数」という対称性のルールは、計算ミス(たとえば $y^{'} = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 1}$ のような取り違え)を、代入計算なしの一瞥ではねられる。答えの形を疑う道具として覚えておきたい。

ポイント

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。
分子は中身の微分。

よくある間違い

分子の $u^{'} = 2 x$ を忘れて $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ とする(合成の内側の微分)
$lo g (x^{2} + 1)$ を $2 lo g (x + 1)$ 等と誤変形する( $lo g$ の中の和はバラせない)
不要な絶対値や真数条件の場合分けを持ち込む( $x^{2} + 1 > 0$ は常に成立)