指数関数の微分(底がa)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 指数関数の微分の基準は $e^x$(微分しても変わらない、特別な底)。底が $2$ のときは、公式

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$$

に $a=2$ を入れて $y^{\prime }=2^x\log 2$。ここの $\log$ は自然対数(${\log }_e$)だ。

「底が $e$ ならそのまま、$e$ 以外なら $\log (\text{底})$ の料金がかかる」— この補正係数の由来は、別解で種明かしする。

$a=2$。

$$y^{\prime }=2^x\log 2$$

(導出:$2^x=e^{x\log 2}$ とみて合成関数の微分。$e^{x\log 2}\times \log 2=2^x\log 2$。)

まとめ:底が $e$ でない指数 $a^x$ の微分は、$a^x$ に $\log a$(自然対数)がかかる。$e^x$ のときは $\log e=1$ なので $e^x$ のまま。$a=e$ が特別扱いされる理由がここにある。

発展 — 一歩先へ。 $y^{\prime }=2^x\log 2$ は $y^{\prime }=(\log 2)y$ と書ける — 「増える速さが、いまの量に比例する」。細菌の増殖・放射性崩壊・複利など、自然界の指数的変化はすべてこの型の関係(微分方程式)から生まれる。比例定数 $\log 2$ が大きいほど成長が速い。

倍加時間の実感も持てる。$2^x$ は $x$ が $1$ 増えるごとに倍になるから、変化率は一定の $\log 2\approx 69.3\%$ — 金利の世界の「$70$ の法則」(年利 $r\%$ なら約 $70/r$ 年で倍)は、この $\log 2$ の近似値 $0.7$ から来ている。

別解

公式を丸暗記せず、$e$ の言葉に翻訳して導くと $\log 2$ の出どころが見える。

$2=e^{\log 2}$ だから

$$2^x={\left(e^{\log 2}\right)}^x=e^{x\log 2}$$

$2^x$ の正体は「$e^{(\text{定数})\times x}$」— 傾き $\log 2$ で肩を駆け上がる $e$ の指数関数だった。合成の微分(内側 $x\log 2$ の微分は定数 $\log 2$)で

$$y^{\prime }=e^{x\log 2}\cdot \log 2=2^x\log 2$$

公式が $1$ 行で復元できた。

$\log 2\approx 0.693$ という係数は「$2^x$ は $e^x$ より少しゆるやかに増える」度合いを表す。もし底が $e\approx 2.718$ なら $\log e=1$ で係数が消える — $e$ が「微分の世界の標準の底」に選ばれた理由が、この翻訳から見える。

すべての指数関数は $e^{kx}$ の変装、と覚えれば、$(a^x{)}^{\prime }$ の公式は暗記リストから消してよい。