多重の合成関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\log (\sin x^2)$ は「$\log$ の中に $\sin$、その中に $x^2$」という $3$ 段の入れ子(合成関数)。

合成関数は連鎖律で「外側から順に微分して掛ける」。

まず $\log$ を微分($\frac{中身の微分}{中身}$)、次に $\sin$ を微分($\cos \times$ 中身の微分)、最後に $x^2$ を微分($2x$)。

一段ずつ外から剥いて掛け合わせる、と見通す。

① 外側($\log$)を微分。 中身を $u=\sin x^2$ として

$$y^{\prime }=\frac{(\sin x^2{)}^{\prime }}{\sin x^2}$$

② 中の $\sin$ を微分。 中身を $v=x^2$ として $(\sin x^2{)}^{\prime }=\cos x^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=\cos x^2\cdot 2x$。

③ まとめる。

$$y^{\prime }=\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}$$

まとめ:多重の合成は「外側から順に微分して掛ける」連鎖律。$\log \to \frac{u^{\prime }}{u}$、$\sin \to \cos \cdot v^{\prime }$、$x^2\to 2x$ と、一段ずつ剥いて掛け合わせる。中身の微分を掛け忘れないのが要。

発展 — 一歩先へ。 $\log$ の微分 $\frac{g^{\prime }}{g}$ は「対数微分」と呼ばれ、掛け算を足し算に変える働きをもつ。答え $\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}$ は、$\sin x^2$ の対数微分にほかならない。

連鎖律の正体は「合成 $=$ 変換の積み重ね、微分 $=$ その各段の伸び率の掛け算」。$x^2$ 段が $2x$ 倍、$\sin$ 段が $\cos$ 倍、$\log$ 段が $\frac{1}{\text{中身}}$ 倍、と伸び率が掛け合わさる。

だから何段重なっても、外から順に伸び率を掛けていくだけでよい。段が増えても手順は同じだ。

別解

別解 — 置きかえて一段ずつ計算する(苦手な人向けの整理ルート)。 何を掛けるか混乱するなら、内側から名前をつけて表にすると迷わない。

$u=x^2$、$v=\sin u$、$y=\log v$ と置く。それぞれの微分は

$$\frac{du}{dx}=2x,\frac{dv}{du}=\cos u,\frac{dy}{dv}=\frac{1}{v}.$$

連鎖律はこれらを掛けるだけ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\frac{1}{v}\cdot \cos u\cdot 2x=\frac{\cos x^2}{\sin x^2}\cdot 2x=\frac{2x\cos x^2}{\sin x^2}.$$

外側から一気に剥く本解と同じ。$u,v$ と名前をつけて $\frac{dy}{dv}\cdot \frac{dv}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ と分数のように並べると、掛け忘れが起きにくい。最後に $u=x^2$、$v=\sin x^2$ を戻すのを忘れないこと。