媒介変数表示の第2次導関数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数表示の微分は $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$。まずこれを計算する。

第 $2$ 次導関数でつまずきやすいのは、$\frac{dy}{dx}$ を「$x$ で」もう一度微分できない点。

$\frac{dy}{dx}$ は $t$ の式だから、$t$ で微分してから $\frac{dx}{dt}$ で割る、という手順になる。

この $2$ 段を取り違えないように進める、と見通す。

① $\frac{dy}{dx}$。 $\frac{dx}{dt}=2t$、$\frac{dy}{dt}=3t^2-1$ より

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}$$

② $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$。 まず $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}=\frac{3}{2}t-\frac{1}{2t}$ を $t$ で微分する。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2t^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}$$

これを $\frac{dx}{dt}=2t$ で割って

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{3t^2+1}{2t^2}}{2t}=\frac{3t^2+1}{4t^3}$$

まとめ:媒介変数の微分は「$\frac{dy/dt}{dx/dt}$」。第 $2$ 次は「$\frac{dy}{dx}$(=$t$ の式)を $t$ で微分し、$\frac{dx}{dt}$ で割る」。$x$ で $2$ 回微分するのは誤り。$\frac{dy}{dx}$ を $t$ の式に整理してから微分すると楽。

発展 — 一歩先へ。 第 $2$ 次を $\frac{d^{2}y/d{t}^2}{d^{2}x/d{t}^2}$ としてはいけないのは、$\frac{dy}{dx}$ 自体が $t$ の関数で、それをさらに $x$ で微分するには連鎖律 $\frac{d}{dx}=\frac{1}{dx/dt}\cdot \frac{d}{dt}$ を通す必要があるから。

この曲線は $t$ を消すと $y^2=x(x-1{)}^2$。$y=t^3-t=t(t^2-1)=t(x-1)$ から $y^2=t^2(x-1{)}^2=x(x-1{)}^2$ となる。

原点で自分自身と交わる「結び目(節点)」をもつ $3$ 次曲線だ。媒介変数を使うと、こうした自己交差する曲線もなめらかに $1$ 本の $t$ でたどれる。陰関数のままでは扱いにくい曲線を、パラメータが解きほぐしてくれる。

別解

別解 — $\frac{dy}{dx}$ を商のまま微分する(得意な人向けの視点)。 本解では $\frac{dy}{dx}=\frac{3t^2-1}{2t}$ を $\frac{3}{2}t-\frac{1}{2t}$ と分けてから微分した。分けずに、商の微分で処理しても同じ。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{3t^2-1}{2t}\right)=\frac{(6t)(2t)-(3t^2-1)(2)}{(2t{)}^2}=\frac{12t^2-6t^2+2}{4t^2}=\frac{6t^2+2}{4t^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}.$$

これを $\frac{dx}{dt}=2t$ で割って

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{3t^2+1}{2t^2}÷2t=\frac{3t^2+1}{4t^3}.$$

$1$ 次式の和に分けてから微分する本解と同じ。分数を分けると計算は軽くなるが、分けにくい形では商の微分でそのまま押すほうが確実。どちらでも「$t$ で微分 → $\frac{dx}{dt}$ で割る」の骨格は変わらない。