対数関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\log x$(自然対数)の微分は、覚えるべき基本公式だ。

$$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

この式の"意外さ"を、味わっておこう。

対数という、いかにも複雑な関数を微分したら、$\frac{1}{x}$ という素朴な分数が出てきた。

まったく別世界の関数が、微分でつながっている。

グラフでも確かめられる。

• $x=1$ のとき、傾きは $\frac{1}{1}=1$ — $\log x$ は $x=1$ で $45^{\circ }$ の傾き
• $x$ が大きくなると、傾きは $0$ に近づく — $\log$ の増え方はどんどん緩やかに
• $x$ が $0$ に近づくと、傾きは無限大 — $y$ 軸に沿って急降下

「対数はゆっくり増える」という感覚が、$\frac{1}{x}$ という導関数にそのまま表れている。

まずは公式として使い、そのうえで「なぜ $\frac{1}{x}$ なのか」を考えてみよう。

$$y^{\prime }=\frac{1}{x}$$

まとめ:自然対数 $\log x$(底 $e$)の微分は $\frac{1}{x}$。とてもシンプルな結果。$\frac{1}{x}$ の積分が $\log |x|$ になる(逆の関係)ことにもつながる、重要な公式だ。

発展 — 一歩先へ。 $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ という式には、深い意味が隠れている。

逆から読んでみよう。

$$\int \frac{1}{x}dx=\log x+C$$

「$\frac{1}{x}$ の原始関数は $\log x$」

この事実が、なぜ重要か。

べきの積分公式を思い出そう。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

この公式は、$n=-1$ のときだけ使えない。 分母が $0$ になってしまう。

$$\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}?$$

$x^{-1}=\frac{1}{x}$ という、たった $1$ つの例外。

この穴を埋めるために、対数が要る。

$$\int x^{-1}dx=\log |x|+C$$

「$x^n$ の積分は、いつも $x$ の累乗。ただし $n=-1$ のときだけ、対数という異質な関数が現れる。」

この特異点が、対数という関数の存在理由なのだ。

実は、歴史的には順序が逆だった。

$17$ 世紀、数学者たちは「双曲線 $y=\frac{1}{x}$ の下の面積」を計算しようとしていた。

$$A(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$$

この面積が、奇妙な性質をもつことに気づいた。

$$A(ab)=A(a)+A(b)$$

「掛け算が、足し算になる」

これは、まさに対数の性質だ!

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

つまり、この面積そのものが対数だった。

$${\int }_1^x\frac{1}{t}dt=\log x$$

そして、この関数の逆関数として現れる数が $e$ である。

$${\int }_1^e\frac{1}{t}dt=1$$

「$1$ から $e$ までの双曲線の下の面積が、ちょうど $1$」

これが $e$ の、もう $1$ つの定義だ。

$e=2.71828\dots$ という値は、この面積が $1$ になる点として決まっている。

なぜ $e$ が「自然」なのか。

• 微分の視点: 微分しても変わらない関数の底
• 積分の視点: $\frac{1}{x}$ の面積が $1$ になる点
• 極限の視点: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ の行き着く先
• 級数の視点: $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots$

まったく違う $4$ つの道が、同じ $2.71828\dots$ に集まる。

そういう数だけが、「自然」と呼ばれる資格をもつ。

別解

なぜ $\frac{1}{x}$ になるのか。逆関数の関係から導く。

$\log$ の微分公式を、$e^x$ の微分から作り出す別解である。

出発点は、$\log$ と $e^x$ が互いに逆関数だという事実だ。

$$y=\log x⟺x=e^y$$

この $2$ つは、同じ関係を、違う向きから書いたものにすぎない。

そこで、$x=e^y$ のほうを、$y$ で微分する。

$$\frac{dx}{dy}=e^y$$

ここで、$e^y=x$ だった(上の関係式)。

$$\frac{dx}{dy}=x$$

知りたいのは $\frac{dy}{dx}$ である。

逆関数の微分は、逆数になる。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x}$$

$$\boxed{(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$$

導けた ✓

なぜ「逆数」でよいのか。

グラフで見ると明快だ。 逆関数のグラフは、$y=x$ に関して折り返した形になる。

折り返すと、傾きは逆数になる。

もとのグラフで「右に $1$、上に $3$」なら、折り返したグラフでは「右に $3$、上に $1$」 — 傾きは $3$ から $\frac{1}{3}$ へ。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$$

ライプニッツの記法だと、これは「分数の逆数」に見える。 記号のうまさが、ここでも効いている。

具体的な数で確かめよう。

$x=e\approx 2.718$ での傾きは?

公式では $\frac{1}{e}\approx 0.368$。

逆関数で見ると: $y=\log e=1$。$x=e^y$ の $y=1$ での傾きは $e^1=e\approx 2.718$。その逆数は $\frac{1}{e}\approx 0.368$ ✓

一致した。

この導出の教訓。

$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ は、天下り式の公式ではない。

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$ という $1$ つの事実から、逆関数の関係だけで自動的に出てくる。

覚える公式は $1$ つでいい。 $e^x$ の微分さえ知っていれば、$\log$ の微分はその"裏返し"として、いつでも復元できる。

同じ技法で、$\arcsin$ や $\arctan$ の微分も導ける。 「逆関数の微分は逆数」— この $1$ 行が、多くの公式を生む親になっている。