数学III / 微分法の計算

陰関数の微分

★★★★ 難関陰関数の微分

問題

曲線 $x^{2} + x y + y^{2} = 7$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の傾き $\frac{d y}{d x}$ を求めよ。

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$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分する。 $x y$ の微分は積の微分、 $y^{2}$ の微分は $2 y \frac{d y}{d x}$ 。 $\frac{d y}{d x}$ について解いてから点を代入。

解答・解説

方針

$y$ を $x$ の関数とみて、両辺を $x$ で微分する( $x y$ は積の微分、 $y^{2}$ は合成関数の微分)。 $\frac{d y}{d x}$ について解き、点 $(1, 2)$ を代入する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y$ が $x$ の式として解けない(陰関数)ので、 $y$ を「 $x$ の関数」とみたまま両辺を $x$ で微分する。

$x y$ は積の微分、 $y^{2}$ は合成関数の微分で $2 y \frac{d y}{d x}$ になる。

こうして $\frac{d y}{d x}$ を含む式ができるので、それについて解く。

最後に点 $(1, 2)$ を代入して傾きを出す、と見通す。

重要陰関数の微分:

y

を

x

の関数とみて両辺を

x

で微分する。

\frac{d}{d x} y^{2} = 2 y \frac{d y}{d x}

、

\frac{d}{d x} (x y) = y + x \frac{d y}{d x}

① 両辺を微分する。 $x^{2} + x y + y^{2} = 7$ の両辺を $x$ で微分する。

$2 x + (y + x \frac{d y}{d x}) + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

② $\frac{d y}{d x}$ について解く。 $\frac{d y}{d x}$ を含む項をまとめて

$(x + 2 y) \frac{d y}{d x} = - (2 x + y) ⟹ \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

③ 点を代入する。 $(x, y) = (1, 2)$ を入れて

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1 + 2}{1 + 2 \cdot 2} = - \frac{4}{5}$

まとめ:陰関数は「 $y$ を $x$ の関数とみて両辺微分 → $\frac{d y}{d x}$ について解く」。 $x y$ は積の微分( $y + x \frac{d y}{d x}$ )、 $y^{2}$ は $2 y \frac{d y}{d x}$ 。 $\frac{d y}{d x}$ でくくって解き、点を代入して傾き $- \frac{4}{5}$ 。

発展 — 一歩先へ。 陰関数微分で得た $\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ は、曲線上のどの点でも使える。接線が水平になるのは $2 x + y = 0$ 、垂直になるのは $x + 2 y = 0$ のとき。

じつは $x^{2} + x y + y^{2} = 7$ は、原点を中心に傾いた楕円。 $F (x, y) = x^{2} + x y + y^{2}$ の勾配 $(2 x + y, x + 2 y)$ が、各点で曲線に垂直な向き(法線)を指す。

「等高線に垂直なのが勾配」という見方は、多変数の微分の入り口。陰関数微分は、その一歩手前で同じ構造を先取りしている。

答

$- \frac{4}{5}$

別解

別解 — $y$ を解いて陽関数で微分する(得意な人向けの視点)。 点 $(1, 2)$ の近くなら、 $y$ について $2$ 次方程式を解いて陽関数にできる。

$y^{2} + x y + (x^{2} - 7) = 0$ を $y$ の $2$ 次方程式とみて解くと

$y = \frac{- x + x ^{2} - 4 ( x ^{2} - 7 )}{2} = \frac{- x + 28 - 3 x ^{2}}{2}$

(正の平方根を選ぶと $x = 1$ で $y = \frac{- 1 + 5}{2} = 2$ となり、点を通る枝)。これを微分すると

$y^{'} = \frac{1}{2} (- 1 + \frac{- 6 x}{2 28 - 3 x ^{2}}) = \frac{1}{2} (- 1 - \frac{3 x}{28 - 3 x ^{2}}) .$

$x = 1$ で $25 = 5$ だから $y^{'} = \frac{1}{2} (- 1 - \frac{3}{5}) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{8}{5}) = - \frac{4}{5}$ 。

陰関数のまま微分する本解と同じ。解ける形なら陽関数にしてもよいが、根号や枝の選び方が増える。陰関数微分は「解かずに済ませる」ぶん、こうした場合はむしろ手早い。

ポイント

両辺を微分: $2 x + y + x \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$ 。
$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ 、 $(1, 2)$ で $- \frac{4}{5}$ 。

よくある間違い

$y^{2}$ の微分で $\frac{d y}{d x}$ を掛け忘れる( $2 y$ だけにする)。
$x y$ を積の微分でなく単純に $y$ とし、 $x \frac{d y}{d x}$ を落とす。
$\frac{d y}{d x}$ について解く前に点を代入し、式変形を複雑にする。