数学III / 微分法の計算

商の微分

★★★★ 難関商の微分

問題

$y = \frac{2 x + 1}{x ^{2} + 1}$ を微分せよ。

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商の微分公式 $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ 。 $f = 2 x + 1$ 、 $g = x^{2} + 1$ として $f^{'}, g^{'}$ を求め、分子を展開して整理する。

解答・解説

方針

商の微分公式 $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ 。 $f = 2 x + 1$ 、 $g = x^{2} + 1$ として $f^{'} = 2$ 、 $g^{'} = 2 x$ を代入し、分子を整理する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数関数の微分は、商の微分公式 $(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ に当てはめる。

$f = 2 x + 1$ 、 $g = x^{2} + 1$ と分ける。

それぞれの導関数 $f^{'} = 2$ 、 $g^{'} = 2 x$ を用意し、公式に代入する。

分子の引き算の順( $f^{'} g$ が先)を守り、分子を展開・整理する、と見通す。

公式商の微分:

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}

① 部品を用意する。 $f = 2 x + 1$ 、 $f^{'} = 2$ 。 $g = x^{2} + 1$ 、 $g^{'} = 2 x$ 。

② 公式に代入する。

$y^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - ( 2 x + 1 ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

③ 分子を整理する。

$2 (x^{2} + 1) - 2 x (2 x + 1) = 2 x^{2} + 2 - 4 x^{2} - 2 x = - 2 x^{2} - 2 x + 2$

よって

$y^{'} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

まとめ:商の微分は「 $\frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ 」。引き算の順( $f^{'} g$ が先)と、分母が $g^{2}$ になることを守る。分子を展開・整理して $- 2 x^{2} - 2 x + 2$ 。 $- 2 (x^{2} + x - 1)$ とくくってもよい。

発展 — 一歩先へ。 商の微分公式は、じつは積の微分から導ける。 $\frac{f}{g} = f \cdot g^{- 1}$ を積の微分すると $f^{'} g^{- 1} + f \cdot (- 1) g^{- 2} g^{'} = \frac{f ^{'} g - f g ^{'}}{g ^{2}}$ 。だから丸暗記でなく組み立てられる。

分子 $- 2 x^{2} - 2 x + 2 = - 2 (x^{2} + x - 1)$ が $0$ になる $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ が、この関数の極値の場所。分子(=導関数)の符号がそこで変わる。

黄金比 $\frac{- 1 + 5}{2}$ が現れるのは、 $x^{2} + x - 1 = 0$ がその定義式だから。何気ない分数関数の極値にも、由緒ある数が顔を出す。

答

$y^{'} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$

別解

別解 — 積の微分に直す(得意な人向けの視点)。 商の公式を覚えていなくても、分母を「 $- 1$ 乗」とみて積の微分で処理できる。

$y = (2 x + 1) (x^{2} + 1)^{- 1}$ と書く。積の微分 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ で、 $u = 2 x + 1$ 、 $v = (x^{2} + 1)^{- 1}$ 。 $v^{'} = - (x^{2} + 1)^{- 2} \cdot 2 x$ だから

$y^{'} = 2 \cdot (x^{2} + 1)^{- 1} + (2 x + 1) \cdot (- \frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}) = \frac{2}{x ^{2} + 1} - \frac{2 x ( 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

分母を $(x^{2} + 1)^{2}$ でそろえると

$y^{'} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 x ( 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$

商の公式を使う本解と同じ。じつはこの計算が商の公式の導出そのもの。「分母は $- 1$ 乗」「積の微分 $+$ 合成関数」で、公式を忘れても再現できる。

ポイント

$f = 2 x + 1, g = x^{2} + 1$ 、 $f^{'} = 2, g^{'} = 2 x$ 。
$y^{'} = \frac{2 ( x ^{2} + 1 ) - 2 x ( 2 x + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{- 2 x ^{2} - 2 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ 。

よくある間違い

分子の引き算の順( $f^{'} g - f g^{'}$ )を逆にする。
分母を $g$ のままにする(正しくは $g^{2}$ )。
$(2 x + 1) \cdot 2 x$ の展開 $4 x^{2} + 2 x$ を誤り、分子の整理を崩す。