積の微分(三角関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^2$ と $\sin x$ の積。積の微分は「バラして掛ける」ではなく、専用の公式を使う。

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

「前を微分 $\times$ 後ろそのまま $+$ 前そのまま $\times$ 後ろを微分」— $2$ つの部品が交代で微分される形だ。

$f=x^2,g=\sin x$ と役を決めて、$f^{\prime }=2x$、$g^{\prime }=\cos x$ を組めばよい。

$f=x^2$、$g=\sin x$。$f^{\prime }=2x$、$g^{\prime }=\cos x$。

$$y^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }=2x\sin x+x^2\cos x$$

まとめ:$x^2$ と $\sin x$ の積は、積の微分公式で $2$ 項に。「$x^2$ を微分 × $\sin x$」+「$x^2$ × $\sin x$ を微分」。多項式 × 三角関数はこの形が基本だ。

発展 — 一歩先へ。 積の公式の出どころは、増分の分解にある。$f$ と $g$ が同時に少しずつ動くとき、積 $fg$ の増え幅は「$f$ の増分 $\times g$」と「$f\times g$ の増分」の和(両方の増分の積は $2$ 次の微小量で消える)— 長方形の縦横を少し伸ばすと、増える面積は帯 $2$ 本分、という絵だ。

答えの検算には数値が手軽だ。$x=1$ で $y^{\prime }=2\sin 1+\cos 1\approx 2.223$。$\frac{f(1.001)-f(0.999)}{0.002}$ を電卓で計算すると同じ値に近づく — 記号の計算を数の計算で照合する習慣は、微分の全単元で使える安全網である。

別解

積を対数で和にほどいてから微分する道もある($x^2\sin x>0$ の範囲で考え、対数微分法を使う)。

$$\log y=2\log x+\log \sin x$$

積が和に変わった。両辺を微分すると、和は項ごとに微分できて

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$

両辺に $y=x^2\sin x$ を掛けて戻すと

$$y^{\prime }=x^2\sin x\left(\frac{2}{x}+\frac{\cos x}{\sin x}\right)=2x\sin x+x^2\cos x$$

積の公式と同じ答えだ。

$2$ 個の積なら公式の方が速い。だがこの「積 $\to$ 対数 $\to$ 和」の変換は、$3$ 個以上の積や商・累乗が入り混じった式($\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x+2{)}^3}$ など)で本領を発揮する — 対数微分法は $x^x$ 専用の技ではなく、積の構造を一括でほどく汎用の道具である。