媒介変数表示の微分(アステロイド)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x,y$ が媒介変数 $t$ で与えられている。$y$ を $x$ の式に直すのは大変なので、$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ を使う。

$x,y$ をそれぞれ $t$ で微分する(合成関数)。$\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t$、$\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t$。

割り算すると共通因数 $3\cos t\sin t$ が約分されて、簡単な形に落ちる。

① それぞれ $t$ で微分。 合成関数の微分で $$\frac{dx}{dt}=3{\cos }^{2}t\cdot (-\sin t)=-3{\cos }^{2}t\sin t,\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cdot \cos t=3{\sin }^{2}t\cos t.$$ ② 割る。 $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3{\sin }^{2}t\cos t}{-3{\cos }^{2}t\sin t}.$$ ③ 約分。 $0<t<\frac{\pi }{2}$ で $\sin t,\cos t\ne 0$ だから $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t.$$

まとめ $\frac{dx}{dt}=-3{\cos }^{2}t\sin t$、$\frac{dy}{dt}=3{\sin }^{2}t\cos t$、割って約分すると $\frac{dy}{dx}=-\tan t$。媒介変数の微分と三角関数の融合。

発展 — 一歩先へ。 アステロイドの接線が両軸で切り取る線分の長さは、$t$ によらず常に $1$。これは「長さ $1$ の棒を壁と床に立てかけ、滑り落とすときに棒が通らない境界(包絡線)」がこの曲線であることを意味する。$\frac{dy}{dx}=-\tan t$ という単純な傾きの裏に、こんな力学的な生い立ちが隠れている。

別解

別解 — 傾きの図形的な意味で検算する(得意な人向けの視点)。 アステロイド $x={\cos }^{3}t,y={\sin }^{3}t$ 上の点での接線の傾きが $-\tan t$ になることは、図形的にも読める。

この曲線の接線には有名な性質がある。点 $({\cos }^{3}t,{\sin }^{3}t)$ での接線が $x$ 軸・$y$ 軸で切り取る線分の長さは、$t$ によらず常に $1$。

接線の傾きが $-\tan t$ なら、$x$ 切片は $\cos t$、$y$ 切片は $\sin t$ の位置に来て、切片間の長さは $\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}=1$。たしかに一定だ。

計算で出した $\frac{dy}{dx}=-\tan t$ が、「一定長の棒を壁と床に立てかけて滑らせたときに包絡線として現れる曲線」というアステロイドの生い立ちと符合する。数値の答えを図形の性質で裏づけると、計算ミスにも気づける。