数学III / 微分法の計算

x^(n-1) log x の第 n 次導関数

最難関編高階導関数数学的帰納法対数関数

問題

$n$ を自然数とし、 $x > 0$ で

$f_{n} (x) = x^{n - 1} lo g x$

とおく。

(1) $f_{1}^{'} (x)$ 、 $f_{2}^{''} (x)$ 、 $f_{3}^{'''} (x)$ をそれぞれ計算せよ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して

$f_{n}^{(n)} (x) = \frac{( n - 1 )!}{x}$

であることを示せ。

ヒントを見る

$f_{n}$ を1回だけ微分してみよ。何が現れるか。 $f$ の添字に注目。

出てきたおまけの多項式は、あと何回微分すれば消えるか。それが $n - 1$ 回でよいなら、話は閉じる。

解答・解説

方針

$n$ 回微分を書き下すのは無理。まず1回だけ微分すると、同じ形の $f_{n - 1}$ と多項式 $x^{n - 2}$ が出る。多項式は残りの $n - 1$ 回の微分で消える。この構造に気づけば帰納法にのる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $n$ 回微分せよ」と言われて $n$ 回書き下すのは無理だ。だが1回だけ微分してみると景色が変わる。

$f_{n}^{'} (x) = (n - 1) x^{n - 2} lo g x + x^{n - 1} \cdot \frac{1}{x} = (n - 1) f_{n - 1} (x) + x^{n - 2}$

1回微分すると、同じ形で添字が1つ下がった $f_{n - 1}$ が現れた。おまけに付いてきた $x^{n - 2}$ は $n - 2$ 次の多項式だから、あと $n - 1$ 回微分すれば完全に消える。

つまり「微分すると自分の弟に化ける」という構造だ。ここまで見えれば、残りの $n - 1$ 回の微分を両辺に浴びせて帰納法にのせるだけである。

公式積の微分

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

、

(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}

。

k

次多項式は

k + 1

回微分すると

0

になる

① (1) 具体的に計算する。 $f_{1} = lo g x$ だから $f_{1}^{'} = \frac{1}{x} = \frac{0 !}{x}$ 。

$f_{2} = x lo g x$ だから $f_{2}^{'} = lo g x + 1$ 、もう一度微分して $f_{2}^{''} = \frac{1}{x} = \frac{1 !}{x}$ 。

$f_{3} = x^{2} lo g x$ だから $f_{3}^{'} = 2 x lo g x + x$ 、 $f_{3}^{''} = 2 lo g x + 2 + 1 = 2 lo g x + 3$ 、さらに微分して $f_{3}^{'''} = \frac{2}{x} = \frac{2 !}{x}$ 。

3つとも $\frac{( n - 1 )!}{x}$ の形である。これが(2)の予想になる。

② (2) 微分すると弟になる。 $n \geq 2$ のとき、積の微分より

$f_{n}^{'} (x) = (n - 1) x^{n - 2} lo g x + x^{n - 2} = (n - 1) f_{n - 1} (x) + x^{n - 2}$

③ 両辺を $n - 1$ 回微分する。 左辺は $f_{n}^{(n)}$ になる。右辺の第2項 $x^{n - 2}$ は $n - 2$ 次の多項式だから、 $n - 1$ 回微分すると $0$ である(ここが要)。よって

$f_{n}^{(n)} (x) = (n - 1) \cdot f_{n - 1}^{(n - 1)} (x)$

④ 帰納法で締める。 $n = 1$ のとき $f_{1}^{'} = \frac{1}{x} = \frac{0 !}{x}$ で成立する。

$n - 1$ で $f_{n - 1}^{(n - 1)} = \frac{( n - 2 )!}{x}$ が成り立つと仮定すると、③より

$f_{n}^{(n)} (x) = (n - 1) \cdot \frac{( n - 2 )!}{x} = \frac{( n - 1 )!}{x}$

となり、 $n$ でも成立する。よってすべての自然数 $n$ で $f_{n}^{(n)} (x) = \frac{( n - 1 )!}{x}$ 。

まとめ: 高階微分では「1回微分して構造を見る」。同じ形が添字を下げて再登場するなら、それは漸化式であり、帰納法の合図である。おまけの多項式は「あと何回で消えるか」だけ確かめればよい。

発展 — 一歩先へ。 $n$ 階でぴたりと階乗が現れるのは、 $x^{n - 1}$ という多項式部分が $n$ 階でちょうど消え尽くすからだ。もう1回微分すれば $- \frac{( n - 1 )!}{x ^{2}}$ で、以降はただの $\frac{1}{x}$ の微分にすぎない。「 $n$ 乗を $n$ 回微分するとちょうど何かが消える(あるいは残る)」という構造は、 $\frac{d ^{n}}{d x ^{n}} {x^{n} (1 - x)^{n}}$ がルジャンドル多項式を生むなど、直交多項式の定義に繰り返し現れる。 $n$ 階微分は、次数 $n$ の世界を一掃するふるいなのである。

答

(1) $f_{1}^{'} = \frac{1}{x}$ 、 $f_{2}^{''} = \frac{1}{x}$ 、 $f_{3}^{'''} = \frac{2}{x}$ (順に $\frac{0 !}{x}, \frac{1 !}{x}, \frac{2 !}{x}$ ) (2) $f_{n}^{'} = (n - 1) f_{n - 1} + x^{n - 2}$ の両辺を $n - 1$ 回微分すると多項式部分が消え、帰納法で従う

別解

ライプニッツの公式で正面から展開する(得意な人向け)。 積 $x^{n - 1} \cdot lo g x$ に、いきなり $n$ 階のライプニッツの公式を当てる道もある。

必要な部品は2つ。 $(x^{n - 1})^{(k)} = \frac{( n - 1 )!}{( n - 1 - k )!} x^{n - 1 - k}$ ( $k \leq n - 1$ 、 $k \geq n$ では $0$ )と、 $(lo g x)^{(m)} = \frac{( - 1 ) ^{m - 1} ( m - 1 )!}{x ^{m}}$ ( $m \geq 1$ )である。後者は $\frac{1}{x}$ を繰り返し微分すれば出る。

$k = n$ の項は $(x^{n - 1})^{(n)} = 0$ だから消える。残る $k = 0, \dots, n - 1$ の項では $m = n - k \geq 1$ なので

$f_{n}^{(n)} = k = 0 \sum n - 1 (k n) \cdot \frac{( n - 1 )!}{( n - 1 - k )!} x^{n - 1 - k} \cdot \frac{( - 1 ) ^{n - k - 1} ( n - k - 1 )!}{x ^{n - k}}$

ここで $x$ のべきは $x^{(n - 1 - k) - (n - k)} = x^{- 1}$ で、 $k$ によらず一定になる。しかも $\frac{( n - k - 1 )!}{( n - 1 - k )!} = 1$ (同じ数だ)。したがって

$f_{n}^{(n)} = \frac{( n - 1 )!}{x} k = 0 \sum n - 1 (k n) (- 1)^{n - k - 1}$

残った和は二項定理で片づく。 $\sum_{k = 0}^{n} (k n) (- 1)^{n - k} = (1 - 1)^{n} = 0$ だから、 $k = n$ の項( $= 1$ )を移項して

$k = 0 \sum n - 1 (k n) (- 1)^{n - k - 1} = - (0 - 1) = 1$

よって $f_{n}^{(n)} = \frac{( n - 1 )!}{x}$ 。帰納法を使わず、二項係数の交代和が $1$ になることで一気に決まる。 $(1 - 1)^{n} = 0$ という一言が効いているのが痛快である。

ポイント

1回微分すると $f_{n}^{'} = (n - 1) f_{n - 1} + x^{n - 2}$ 。弟が現れる。
$x^{n - 2}$ は $n - 1$ 回の微分で消える。ここが要点。
$f_{n}^{(n)} = (n - 1) f_{n - 1}^{(n - 1)}$ から帰納法で $\frac{( n - 1 )!}{x}$ 。

よくある間違い

(1)の3つの結果から $\frac{( n - 1 )!}{x}$ だろうと予想して終える。予想は出発点にすぎない。帰納法(あるいは別解の展開)で証明しないと解答にならない。
$f_{n}^{'} = (n - 1) f_{n - 1} + x^{n - 2}$ の $x^{n - 2}$ を「小さいから無視」と扱う。無視してよい理由は「 $n - 2$ 次の多項式を $n - 1$ 回微分すると $0$ 」という一点で、これは必ず書く。
$lo g x$ の微分に $x > 0$ の条件を忘れる、あるいは $lo g ∣ x ∣$ と混同する。本問は $x > 0$ の世界の話である。