数学III / 微分法の計算

e^x sin x の高次導関数

実戦編微分法の計算高次導関数積の微分三角関数単元横断

問題

$y = e^{x} sin x$ について、 $n$ 階導関数が $y^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4})$ で与えられることを示せ。

ヒントを見る

$y^{'} = e^{x} (sin x + cos x)$ 。 $sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})$ 。 $1$ 回で $2$ 倍・偏角 $+ \frac{π}{4}$ 。帰納法。

解答・解説

方針

$1$ 回微分し、 $sin x + cos x$ を合成して $2 sin (x + \frac{π}{4})$ とする。同じ操作の繰り返しを数学的帰納法でまとめる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 階微分を1回ずつ計算するのは無理。まず1回微分して、「何が起きるか」の規則を見つける。

$y^{'} = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x)$ 。この $sin x + cos x$ を合成すると $2 sin (x + \frac{π}{4})$ 。

つまり1回微分すると、大きさが $2$ 倍、位相が $\frac{π}{4}$ 進む。この操作の繰り返しだから、 $n$ 回で $(2)^{n}$ 倍・位相 $\frac{nπ}{4}$ 進む。帰納法でまとめれば公式が出る。

重要

sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{4})

。

1

回の微分で

2

倍・偏角

+ \frac{π}{4}

① $1$ 回微分。 積の微分で $y^{'} = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + \frac{π}{4}) .$ $n = 1$ で $2^{1/2} e^{x} sin (x + \frac{π}{4})$ 、主張は成り立つ。

② 帰納法。 $y^{(k)} = 2^{k /2} e^{x} sin (x + \frac{k π}{4})$ を仮定して微分すると、 $g (x) = e^{x} sin (x + \frac{k π}{4})$ に ① と同じ計算をして $g^{'} (x) = e^{x} {sin (x + \frac{k π}{4}) + cos (x + \frac{k π}{4})} = 2 e^{x} sin (x + \frac{k π}{4} + \frac{π}{4}) .$ よって $y^{(k + 1)} = 2^{k /2} \cdot 2 e^{x} sin (x + \frac{( k + 1 ) π}{4}) = 2^{(k + 1) /2} e^{x} sin (x + \frac{( k + 1 ) π}{4}) .$ ③ 結論。 帰納法により、すべての自然数 $n$ で $y^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4}) .$

まとめ $1$ 回の微分が「 $2$ 倍・偏角 $+ \frac{π}{4}$ 」で、帰納法により $y^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4})$ 。高次導関数(積の微分)と合成・帰納法の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ複素数の見方で、 $e^{x} cos x$ の $n$ 階は $2^{n /2} e^{x} cos (x + \frac{nπ}{4})$ (実部をとるだけ)。一般に $e^{a x} sin b x$ 型は、複素数 $a + bi$ を掛ける操作の反復で、 $(a^{2} + b^{2})^{n /2}$ 倍・位相 $n ar g (a + bi)$ 進む。微分が複素平面の回転拡大に化ける、美しい構造だ。

答

$y^{'} = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + \frac{π}{4})$ 。 $1$ 回微分するごとに $2$ 倍と偏角 $+ \frac{π}{4}$ が加わる。帰納法で $y^{(n)} = (2)^{n} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4}) = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4})$ 。

別解

別解 — 複素数 $e^{(1 + i) x}$ の実部として一発(得意な人向けの高い視点)。 $e^{x} sin x$ は、複素指数関数 $e^{(1 + i) x} = e^{x} (cos x + i sin x)$ の虚部だ。

複素指数の微分は簡単で、 $\frac{d}{d x} e^{(1 + i) x} = (1 + i) e^{(1 + i) x}$ 。 $n$ 回微分すれば係数が $(1 + i)^{n}$ 倍になるだけ。

$1 + i$ を極形式にすると $1 + i = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$ 。ド・モアブルで

$(1 + i)^{n} = 2^{n /2} (cos \frac{nπ}{4} + i sin \frac{nπ}{4}) .$

だから $(e^{(1 + i) x})^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} (cos (x + \frac{nπ}{4}) + i sin (x + \frac{nπ}{4}))$ 。この虚部が答え

$y^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4}) .$

帰納法(本解)の「 $2$ 倍・位相 $\frac{π}{4}$ 」の正体は、複素数 $1 + i$ を掛ける操作(大きさ $2$ ・回転 $4 5^{\circ}$ )そのもの。微分が「複素数を掛ける」に化けるのが鮮やかだ。

ポイント

$y^{'} = e^{x} (sin x + cos x) = 2 e^{x} sin (x + \frac{π}{4})$ 。
$1$ 回の微分で $2$ 倍・偏角 $+ \frac{π}{4}$ 。
帰納法で $y^{(n)} = 2^{n /2} e^{x} sin (x + \frac{nπ}{4})$ 。

よくある間違い

$sin x + cos x$ の合成を誤り、 $2 sin (x + \frac{π}{4})$ の振幅や位相を間違える。
帰納法の主張を「 $2$ 倍」だけにして、位相 $+ \frac{π}{4}$ の累積( $n$ 回で $\frac{nπ}{4}$ )を落とす。
$(2)^{n} = 2^{n /2}$ の指数表記を誤る。