第n次導関数(分数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を見つけ、一般化する」。

$y=(x+1{)}^{-1}$ を微分するたびに、指数が $1$ つ下がり、係数に元の指数が掛かる。

$1,2,3$ 回微分した結果を並べる。

そこから符号・階乗・指数のパターンを読み取り、$y^{(n)}$ の形を推測する、と見通す。

① 数回微分する。 $y=(x+1{)}^{-1}$ とみて

$$y^{\prime }=-(x+1{)}^{-2},y^{\prime \prime }=(-1)(-2)(x+1{)}^{-3}=2(x+1{)}^{-3}$$ $$y^{\prime \prime \prime }=2\cdot (-3)(x+1{)}^{-4}=-6(x+1{)}^{-4}$$

② 規則を読む。 係数は $-1,2,-6,\dots$ すなわち $(-1{)}^{n}n!$($1$ 回で $-1!$、$2$ 回で $2!$、$3$ 回で $-3!$)。指数は $-(n+1)$。よって

$$y^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$$

③ 確認。 $n=1$:$\frac{-1}{(x+1{)}^2}$、$n=2$:$\frac{2}{(x+1{)}^3}$。上の計算と一致。

まとめ:第 $n$ 次導関数は「数回微分して規則を推測」。$(x+1{)}^{-1}$ は微分のたびに符号が反転($(-1{)}^n$)、係数に階乗($n!$)、指数が $-(n+1)$。$1,2,3$ 回の結果でパターンを確信してから一般化する。

発展 — 一歩先へ。 この $y^{(n)}=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}$ は、$\frac{1}{x+1}$ のマクローリン展開とつながる。$x=0$ を入れると $y^{(n)}(0)=(-1{)}^{n}n!$。

テイラー係数は $\frac{y^{(n)}(0)}{n!}=(-1{)}^n$。並べると $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots$、公比 $-x$ の等比級数そのもの。

$n$ 次導関数の階乗 $n!$ が、テイラー係数の分母の $n!$ とちょうど打ち消し合って、きれいな係数 $(-1{)}^n$ が残る。高次導関数は、関数を多項式で近似するときの「各次の重み」を測っている。

別解

別解 — 帰納法できちんと示す(得意な人向けの視点)。 「規則を推測」で終えず、数学的帰納法で確かめると証明として完結する。

推測した式を $y^{(n)}=(-1{)}^{n}n!(x+1{)}^{-(n+1)}$ とおく。

$n=1$ のとき $y^{\prime }=-(x+1{)}^{-2}=(-1{)}^{1}1!(x+1{)}^{-2}$ で成立。

$n=k$ で成り立つと仮定し、もう $1$ 回微分する。

$$y^{(k+1)}=(-1{)}^{k}k!\cdot (-(k+1))(x+1{)}^{-(k+2)}=(-1{)}^{k+1}(k+1)!(x+1{)}^{-(k+2)}.$$

これは $n=k+1$ の式そのもの。よってすべての $n$ で成立する。

低次で規則を読む本解に、帰納法の裏づけを与えた形。$-(k+1)$ が「新たに掛かる指数」で、これが符号を反転させ($(-1{)}^{k+1}$)、階乗を $1$ つ伸ばす($(k+1)!$)。推測を証明に格上げする定石だ。