一般の対数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 微分の世界の対数の標準は自然対数(${\log }_e$)。底が $3$ のときは、まず底の変換で自然対数に翻訳する。

$${\log }_{3}x=\frac{\log x}{\log 3}$$

$\frac{1}{\log 3}$ はただの定数。定数倍は微分の外に出せるから

$$y^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot (\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log 3}$$

指数関数 $a^x$ のときの $\log a$ が「掛かる」のに対し、対数では「割る」— 対になった補正である。

① 自然対数に直す。 底の変換で

$${\log }_{3}x=\frac{\log x}{\log 3}$$

$\frac{1}{\log 3}$ は定数。

② 微分する。

$$y^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot (\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{\log 3}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\log 3}$$

まとめ:底が $3$ の対数は、底の変換で $\frac{\log x}{\log 3}$ にすれば、$\log 3$ は定数として外に出せる。$\log x$ の微分 $\frac{1}{x}$ にかけて $\frac{1}{x\log 3}$。$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$($\log 1=0$?いや $\log e=1$)の特別さがここでも効く。

発展 — 一歩先へ。 $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\log a}$ で $a=e$ とすれば $\log e=1$ で $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ — 自然対数の公式は一般形の特別な場合だ。補正係数が $1$ になる底、として $e$ を定義することさえできる(実際、$e$ の定義の仕方のひとつだ)。

指数と対数の補正の対($a^x$ には $\times \log a$、${\log }_{a}x$ には $÷\log a$)は、逆関数の微分が「傾きの逆数」であることの現れ。片方を覚えれば、もう片方は $y=x$ の鏡で写して復元できる。

別解

${\log }_{3}x$ は $3^x$ の逆関数 — この関係から微分する道もある。

$y={\log }_{3}x$ は $x=3^y$ と同じこと。右の式を $y$ で微分すると

$$\frac{dx}{dy}=3^y\log 3$$

逆関数の微分の関係「$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{dx/dy}$」(傾きの逆数 — グラフを $y=x$ で折り返すと傾きが逆数になる、の式版)を使って

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3^y\log 3}=\frac{1}{x\log 3}$$

(最後に $3^y=x$ を戻した。)底の変換ルートと同じ答えだ。

「対数の微分は、指数の微分の裏返し」— $(3^x{)}^{\prime }$ に $\log 3$ が掛かるから、逆関数の $({\log }_{3}x{)}^{\prime }$ では $\log 3$ で割ることになる。$2$ つの公式が独立の暗記事項ではなく、$y=x$ 対称の表裏だったと分かる。この逆関数の目は、数IIIの後半($\arcsin$ 型の微分など)でも主役を務める。