数学III / 微分法の計算

cos nθ が満たす微分方程式(媒介変数の2階微分)

最難関編媒介変数表示第2次導関数三角関数

問題

$n$ を自然数とし、 $0 < θ < π$ とする。 $x = cos θ$ 、 $y = cos n θ$ とおく。

(1) $\frac{d y}{d x}$ を $θ$ で表せ。

(2) 次が成り立つことを示せ。

$(1 - x^{2}) \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - x \frac{d y}{d x} + n^{2} y = 0$

(3) $n = 3$ のとき、 $y$ を $x$ の多項式で表せ。

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$x$ で微分できないなら、 $θ$ で微分して $\frac{d x}{d θ}$ で割ればよい。2階も同じ道を通る。

$1 - x^{2}$ を $θ$ で書くと何になるか。そこに分母の $sin θ$ を消す鍵がある。

解答・解説

方針

$y$ を $x$ の式で書くことは( $n$ が一般なので)できない。だが微分の関係式なら $θ$ のまま計算できる。媒介変数の1階・2階の公式で $\frac{d y}{d x}$ 、 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ を $θ$ の式にし、 $1 - x^{2} = sin^{2} θ$ で分母を掃除する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y$ を $x$ の式で書こうとすると、 $n$ が一般だから多項式の形が見えない。行き止まりだ。

しかし「微分の関係式」なら、 $x$ の式を経由せずに作れる。媒介変数のままで $\frac{d y}{d x}$ も $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ も計算できるからだ。

2階の計算では分母に $sin^{3} θ$ が出てくる。これが残ると式は汚いままだ。ところが $1 - x^{2} = sin^{2} θ$ である。 $(1 - x^{2})$ を掛けるという操作が、この分母をちょうど掃除してくれる。問題文の左辺に $(1 - x^{2})$ が付いている理由がここにある。

公式媒介変数表示の微分

\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d θ}{d x / d θ}

、

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d}{d θ} (\frac{d y}{d x}) / \frac{d x}{d θ}

① 1階を作る。 $\frac{d x}{d θ} = - sin θ$ 、 $\frac{d y}{d θ} = - n sin n θ$ である。 $0 < θ < π$ より $sin θ \neq = 0$ だから割れる。

$\frac{d y}{d x} = \frac{- n sin n θ}{- sin θ} = \frac{n sin n θ}{sin θ}$

② 2階を作る。 ①の式をもう一度 $θ$ で微分し、 $\frac{d x}{d θ} = - sin θ$ で割る。商の微分より

$\frac{d}{d θ} (\frac{n sin n θ}{sin θ}) = \frac{n ( n cos n θ sin θ - sin n θ cos θ )}{sin ^{2} θ}$

これを $- sin θ$ で割って

$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{n ( n cos n θ sin θ - sin n θ cos θ )}{sin ^{3} θ}$

③ 3つの項を足す。 $1 - x^{2} = 1 - cos^{2} θ = sin^{2} θ$ である。これを掛けると分母が $sin^{3} θ$ から $sin θ$ に落ちる。

$(1 - x^{2}) \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{n ( n cos n θ sin θ - sin n θ cos θ )}{sin θ} = - n^{2} cos n θ + \frac{n sin n θ cos θ}{sin θ}$

$- x \frac{d y}{d x} = - cos θ \cdot \frac{n sin n θ}{sin θ} = - \frac{n sin n θ cos θ}{sin θ}$

$n^{2} y = n^{2} cos n θ$

3つを足すと、 $\frac{n sin n θ cos θ}{sin θ}$ が消え、 $- n^{2} cos n θ$ と $n^{2} cos n θ$ も消える。残りは $0$ 。これで(2)が示された。

④ (3) $n = 3$ の場合。 3倍角の公式 $cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ$ に $x = cos θ$ を入れて

$y = 4 x^{3} - 3 x$

念のため(2)で検算する。 $y^{'} = 12 x^{2} - 3$ 、 $y^{''} = 24 x$ だから

$(1 - x^{2}) (24 x) - x (12 x^{2} - 3) + 9 (4 x^{3} - 3 x) = 24 x - 24 x^{3} - 12 x^{3} + 3 x + 36 x^{3} - 27 x = 0$

確かに満たす。

n=3 のとき、x=cosθ・y=cos3θ の対応は多項式 y=4x^3-3x になる。-1<=x<=1 では帯 |y|<=1(破線)の中を行き来し、ちょうど4回だけ縁に触れる(赤点)

まとめ: 媒介変数のまま2階微分を組み立て、 $1 - x^{2} = sin^{2} θ$ で分母を掃除する。 $x$ の世界に無理に翻訳せず、 $θ$ の世界で計算を完結させるのが要である。

発展 — 一歩先へ。 (3)で現れた $4 x^{3} - 3 x$ は、 $cos n θ$ を $cos θ$ の多項式で表したもので、チェビシェフ多項式 $T_{n}$ と呼ばれる。 $n$ がいくつでも $y = T_{n} (x)$ は $n$ 次多項式になり、(2)の微分方程式を満たす。 $- 1 \leq x \leq 1$ では $y = cos n θ$ だから $∣ y ∣ \leq 1$ 。つまり $T_{n}$ は「区間 $[- 1, 1]$ で $\pm 1$ のあいだを $n$ 回振動する $n$ 次多項式」である。この激しい振動のおかげで、 $T_{n}$ は「区間上での最大値をできるだけ小さくする多項式」として、近似理論の主役になる。

答

(1) $\frac{d y}{d x} = \frac{n sin n θ}{sin θ}$ (2) $1 - x^{2} = sin^{2} θ$ を使うと3項がちょうど打ち消し合う(証明) (3) $y = 4 x^{3} - 3 x$

別解

加法定理から漸化式を作る(手を動かして確かめるルート)。 微分方程式を通らずに、 $y$ が多項式になる仕組みそのものを見ることもできる。

和積の公式から

$cos (n + 1) θ + cos (n - 1) θ = 2 cos n θ cos θ$

ここで $T_{n} (x) = cos n θ$ ( $x = cos θ$ )と書けば、これは

$T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x)$

という漸化式である。 $T_{0} = 1$ 、 $T_{1} = x$ から順に

$T_{2} = 2 x \cdot x - 1 = 2 x^{2} - 1, T_{3} = 2 x (2 x^{2} - 1) - x = 4 x^{3} - 3 x$

(3)の答えが、3倍角の公式を覚えていなくても出てくる。しかもこの漸化式から「 $T_{n}$ は $n$ 次多項式である」ことが帰納法で言える(最高次の係数は $2^{n - 1}$ になる)。

微分方程式が「 $T_{n}$ の満たす関係」を微分の言葉で述べているのに対し、この漸化式は同じ事実を代数の言葉で述べている。どちらの言葉でも $T_{n}$ を捕まえられる、というのが面白いところだ。

ポイント

$x$ の式にできなくても、微分の関係式は $θ$ のまま作れる。
2階は「1階をもう一度 $θ$ で微分し、 $d x / d θ$ で割る」。
$1 - x^{2} = sin^{2} θ$ が分母 $sin^{3} θ$ を掃除する。

よくある間違い

2階微分を $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d ^{2} y / d θ ^{2}}{d ^{2} x / d θ ^{2}}$ と書いてしまう。分数のように上下を2階微分する公式は存在しない。1階の式をもう一度 $θ$ で微分し、 $\frac{d x}{d θ}$ で割る。
$sin θ$ で割る場面で $θ = 0, π$ を除く条件を書き忘れる。この2点( $x = \pm 1$ )では $\frac{d y}{d x}$ の式そのものが意味を持たない。
(3)で3倍角を $3 cos θ - 4 cos^{3} θ$ と符号を逆に覚えている。 $θ = 0$ を入れて $1$ になるかを見れば、その場で検算できる。