数学III / 微分法の計算

すべての階の微分係数が 0 になる関数

最難関編高階導関数指数関数の増大微分の定義

問題

関数 $f$ を次で定める。

$f (x) = {e^{- 1/ x} 0 (x > 0) (x \leq 0)$

以下、 $t \to \infty lim \frac{t ^{k}}{e ^{t}} = 0$ ( $k$ は自然数)は用いてよい。

(1) 任意の自然数 $k$ に対して $x \to + 0 lim \frac{e ^{- 1/ x}}{x ^{k}} = 0$ を示せ。

(2) $x > 0$ において、 $f^{(n)} (x)$ は多項式 $P_{n}$ を用いて $P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x}$ と書けることを示せ。

(3) $f$ は何回でも微分可能で、すべての自然数 $n$ に対して $f^{(n)} (0) = 0$ であることを示せ。

ヒントを見る

(1) $\frac{1}{x}$ をひとかたまりの文字に置き換えてみよ。何と何の競争になるか。

(2) $t = \frac{1}{x}$ とおくと、 $x$ での微分は $t$ での微分に何倍かで乗り換えられる。その倍率は何か。

解答・解説

方針

$e^{- 1/ x}$ は $x \to + 0$ で「指数的に小さい」。この小ささが $\frac{1}{x ^{k}}$ の大きさを呑み込む、というのが(1)であり、この問題のエンジン。(2)で導関数の形を押さえ、(3)では差の商が(1)の形になることを見る。左側は常に $0$ なので、左右をそろえて示す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x \leq 0$ では $f$ は完全に $0$ である。 $x > 0$ では $e^{- 1/ x}$ で、これは原点の近くで恐ろしく小さい。 $x = 0.1$ なら $e^{- 10} \approx 0.000045$ 、 $x = 0.01$ なら $e^{- 100}$ — 天文学的な小ささだ。

この「指数的な小ささ」が、どんな $\frac{1}{x ^{k}}$ の大きさをも呑み込む。それが(1)の主張であり、この問題のエンジンである。

(2)では $f^{(n)}$ の形を押さえる。微分するたびに $\frac{1}{x ^{2}}$ が湧いてくるが、 $t = \frac{1}{x}$ と見れば「多項式 $\times e^{- t}$ 」という形は崩れない。

すると(3)では、差の商がまさに「多項式 $\times e^{- t}$ 」の形になり、(1)がそれを $0$ に押しつぶす。左からは常に $0$ 。こうして、すべての階の微分係数が $0$ になる。

重要指数関数は多項式より速く増大する:

lim_{t \to \infty} t^{k} e^{- t} = 0

① (1) 変数を取り替える。 $t = \frac{1}{x}$ とおくと、 $x \to + 0$ は $t \to \infty$ にあたる。

$\frac{e ^{- 1/ x}}{x ^{k}} = t^{k} e^{- t} = \frac{t ^{k}}{e ^{t}} ⟶ 0 (t \to \infty)$

多項式 $t^{k}$ と指数 $e^{t}$ の競争で、指数が必ず勝つ。よって極限は $0$ 。

② (2) 微分の乗り換え。 $t = \frac{1}{x}$ とおくと $\frac{d t}{d x} = - \frac{1}{x ^{2}} = - t^{2}$ だから、 $x$ での微分は

$\frac{d}{d x} = \frac{d t}{d x} \cdot \frac{d}{d t} = - t^{2} \frac{d}{d t}$

と乗り換えられる。 $n = 0$ のときは $f (x) = e^{- t}$ で、 $P_{0} (t) = 1$ とすれば主張が成り立つ。

$f^{(n)} (x) = P_{n} (t) e^{- t}$ と書けたとする。両辺を $x$ で微分すると

$f^{(n + 1)} (x) = - t^{2} \frac{d}{d t} {P_{n} (t) e^{- t}} = - t^{2} {P_{n}^{'} (t) - P_{n} (t)} e^{- t} = t^{2} {P_{n} (t) - P_{n}^{'} (t)} e^{- t}$

そこで $P_{n + 1} (t) = t^{2} {P_{n} (t) - P_{n}^{'} (t)}$ とおけば、これも多項式である。帰納法より、すべての $n$ で $f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1/ x}$ ( $x > 0$ )。

実際、 $P_{0} = 1$ 、 $P_{1} = t^{2}$ 、 $P_{2} = t^{2} (t^{2} - 2 t) = t^{4} - 2 t^{3}$ のように、次数は2つずつ上がっていく。

③ (3) 原点での微分係数を追う。 「 $f^{(n)} (0)$ が存在して $0$ に等しい」を $n$ についての帰納法で示す。

$n = 0$ : $x \leq 0$ で $f = 0$ 、 $x \to + 0$ で $e^{- 1/ x} \to 0$ だから $f$ は原点で連続で $f (0) = 0$ 。

$f^{(n)} (0) = 0$ が言えたとして、 $f^{(n + 1)} (0)$ を差の商で調べる。

$\frac{f ^{(n)} ( h ) - f ^{(n)} ( 0 )}{h} = \frac{f ^{(n)} ( h )}{h}$

$h < 0$ のとき: $f^{(n)} (h) = 0$ (左側では $f$ もそのすべての導関数も $0$ )だから、この商は $0$ 。左極限は $0$ 。

$h > 0$ のとき: ②より $f^{(n)} (h) = P_{n} (\frac{1}{h}) e^{- 1/ h}$ 。 $t = \frac{1}{h}$ とおくと

$\frac{f ^{(n)} ( h )}{h} = t P_{n} (t) e^{- t}$

$t P_{n} (t)$ もまた多項式である。その各項は $t^{k} e^{- t}$ の形で、(1)よりすべて $0$ に収束する。よって右極限も $0$ 。

左右の極限が一致して $0$ 。したがって $f^{(n + 1)} (0)$ は存在して $0$ である。帰納法より、すべての $n$ で $f^{(n)} (0) = 0$ 。

y=f(x)。原点の左では完全に 0、右でも x が小さいうちは x 軸にぴたりと貼りつく(x=0.1 で e^(-10) は約 0.000045)。原点ではすべての階の微分係数が 0 になる。それでも x>0 では f>0 である

まとめ: 原点において、 $f$ の値も、すべての階の微分係数も $0$ である。それなのに $x > 0$ では $f > 0$ だ。「原点でのふるまいを微分でいくら調べても、この関数の正体には届かない」という、強烈な事実がここにある。

発展 — 一歩先へ。 原点でのすべての微分係数が $0$ なのだから、微分係数の情報だけから $f$ を復元しようとすれば「 $f$ は恒等的に $0$ 」という誤った結論に至る。実際には $x > 0$ で $f > 0$ である。つまり、微分係数の列は関数を決めない。これはテイラー展開が元の関数に戻る保証はない、という解析学の有名な警告である。

一方でこの性質は道具にもなる。 $f (x) f (1 - x)$ を考えると、 $x \leq 0$ でも $x \geq 1$ でも $0$ 、 $0 < x < 1$ では正で、しかも何回でも微分できる関数になる。「区間の外では完全に $0$ 、内側では正、境目もなめらか」というこの部品(なめらかなスイッチ)は、現代の解析学で欠かせない道具である。病的に見えた関数が、実は基本部品だったのだ。

答

(1) $t = \frac{1}{x}$ とおけば $t^{k} e^{- t} \to 0$ (2) $P_{n + 1} (t) = t^{2} {P_{n} (t) - P_{n}^{'} (t)}$ ( $P_{0} = 1$ )で帰納法 (3) 左からの差の商は常に $0$ 、右からは(1)より $0$ 。よってすべての $n$ で $f^{(n)} (0) = 0$

別解

どれくらい小さいのかを数で実感する(苦手な人向け)。 (1)の主張は式で見ると当たり前に見えるかもしれない。数で確かめると、その凄まじさが分かる。

$x = 0.1$ のとき $e^{- 1/ x} = e^{- 10} \approx 4.5 \times 1 0^{- 5}$ 。 $x = 0.01$ なら $e^{- 100} \approx 3.7 \times 1 0^{- 44}$ である。

一方 $\frac{1}{x ^{k}}$ はどうか。 $x = 0.01$ 、 $k = 10$ でも $1 0^{20}$ にすぎない。掛け合わせると $3.7 \times 1 0^{- 24}$ 。まだ $0$ に向かって落ちていく途中だ。 $k$ をいくつにしても、 $x$ を小さくすれば必ず負ける。

なぜ必ず勝てるのか。 $t = \frac{1}{x}$ とおけば、比べているのは「 $t^{k}$ (多項式)」と「 $e^{t}$ (指数)」である。 $t$ を $1$ 増やすたびに $e^{t}$ は $e$ 倍(約 $2.7$ 倍)になる。 $t^{k}$ のほうは $(\frac{t + 1}{t})^{k}$ 倍にしかならず、 $t$ が大きいとこの倍率は $1$ に近づく。増え方のエンジンの大きさが違うのだ。だから $t$ が十分大きくなれば、指数が必ず追い越す。

この一点が腹に落ちれば、(3)の証明は「差の商が(多項式) $\times e^{- t}$ の形になる」ことを言うだけの作業になる。難しく見える論証の心臓部は、この単純な大小関係ひとつである。

ポイント

$t = \frac{1}{x}$ で「指数 $e^{t}$ 対多項式 $t^{k}$ 」の競争に翻訳する。
$\frac{d}{d x} = - t^{2} \frac{d}{d t}$ で、 $P_{n}$ の漸化式が出る。
原点では左右両方の差の商を調べる。左は常に $0$ 。

よくある間違い

$x \leq 0$ 側を忘れて $x > 0$ だけで議論する。 $f^{(n)} (0)$ が存在するというためには、左右両方の差の商が同じ値に収束しなければならない。左は常に $0$ 、右は(1)で $0$ — この2本立てが要る。
(2)で $\frac{d}{d x} = - t^{2} \frac{d}{d t}$ の負号や $t^{2}$ を落とす。 $P_{n + 1} (t) = t^{2} {P_{n} (t) - P_{n}^{'} (t)}$ の $t^{2}$ は、微分のたびに次数が2つ上がることを意味している。
「すべての階の微分係数が $0$ なのだから $f$ は恒等的に $0$ 」と結論する。 $x > 0$ で $f > 0$ だから明らかに誤りである。この思い込みを壊すために、この関数は作られている。