数学III / 微分法の計算

対称2階差分は f'' に収束するか

最難関編微分の定義平均値の定理第2次導関数

問題

関数 $f$ と実数 $x$ に対して

$D (h) = \frac{f ( x + h ) - 2 f ( x ) + f ( x - h )}{h ^{2}} (h \neq = 0)$

とおく。

(1) $f$ が $x$ で2回微分可能ならば $h \to 0 lim D (h) = f^{''} (x)$ であることを示せ。

(2) 逆は成り立たない。すなわち $h \to 0 lim D (h)$ が存在しても $f^{''} (x)$ が存在するとは限らない。 $f (x) = x ∣ x ∣$ と $x = 0$ の場合について、そのことを確かめよ。

ヒントを見る

(1) $f (x + h)$ と $f (x - h)$ を足すと、奇数次の項は消える。残る誤差の大きさをどう押さえるか。手持ちの道具は平均値の定理だけだ。

(2) $D (h)$ は左右を同時に見ている。左右の食い違いが「打ち消し合う」形の関数を探せ。

解答・解説

方針

(1)は $f (x \pm h)$ を「 $f (x) + f^{'} (x) h + \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2}$ $+$ 誤差」と書き、誤差が $h^{2}$ より速く $0$ に行くことを平均値の定理で示す。足し合わせると1次の項が消える。(2)は $x ∣ x ∣$ で $D (h)$ を直接計算し、 $f^{'} = 2∣ x ∣$ が原点で折れることを見る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $D (h)$ は「差の差」を $h^{2}$ で割ったものだ。1階の差の商が $f^{'}$ に近づくのだから、2階の差は $f^{''}$ に近づくはずだ、という直感がある。

これを厳密に言うには、 $f (x \pm h)$ を「 $f (x) + f^{'} (x) h + \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2}$ $+$ 誤差」と書き、誤差が $h^{2}$ より速く $0$ に行くことを示せばよい。使える道具は平均値の定理だけである。

(2)は逆向きだ。 $D (h)$ は右と左を同時に見て、平均をとっている。もし左右の折れ方が対称に食い違えば、 $D$ の中で打ち消し合ってしまう。 $x ∣ x ∣$ の $x = 0$ がまさにそれだ。関数自身はなめらかなのに、導関数が原点で折れている — その折れを $D$ は見逃す。

定理平均値の定理:

g

が微分可能なら

g (h) - g (0) = g^{'} (θ h) h

となる

θ

(

0 < θ < 1

)が存在する

① 誤差を定義する。 $f$ は $x$ で2回微分可能とする。

$R (h) = f (x + h) - f (x) - f^{'} (x) h - \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2}$

とおくと $R (0) = 0$ であり、 $h$ で微分して

$R^{'} (h) = f^{'} (x + h) - f^{'} (x) - f^{''} (x) h, R^{'} (0) = 0$

② 誤差は $h^{2}$ より速く消える。 平均値の定理を $R$ に使うと、 $0 < θ < 1$ となる $θ$ があって $R (h) = R (h) - R (0) = R^{'} (θ h) h$ 。両辺を $h^{2}$ で割ると

$\frac{R ( h )}{h ^{2}} = \frac{R ^{'} ( θ h )}{h} = θ \cdot \frac{R ^{'} ( θ h )}{θ h}$

ここで $k \to 0$ のとき

$\frac{R ^{'} ( k )}{k} = \frac{f ^{'} ( x + k ) - f ^{'} ( x )}{k} - f^{''} (x) ⟶ f^{''} (x) - f^{''} (x) = 0$

である。これは $f^{''} (x)$ の定義そのものだ。 $0 < θ < 1$ だから $θ \cdot \frac{R ^{'} ( θ h )}{θ h} \leq \frac{R ^{'} ( θ h )}{θ h} \to 0$ 。よって

$\frac{R ( h )}{h ^{2}} ⟶ 0 (h \to 0)$

$h$ を $- h$ に置き換えた式も同様で、 $\frac{R ( - h )}{h ^{2}} \to 0$ である。

③ 足し合わせる。 定義から

$f (x + h) = f (x) + f^{'} (x) h + \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2} + R (h), f (x - h) = f (x) - f^{'} (x) h + \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2} + R (- h)$

辺々足して $2 f (x)$ を引くと、1次の項 $\pm f^{'} (x) h$ が消える。

$f (x + h) - 2 f (x) + f (x - h) = f^{''} (x) h^{2} + R (h) + R (- h)$

$h^{2}$ で割れば

$D (h) = f^{''} (x) + \frac{R ( h ) + R ( - h )}{h ^{2}} ⟶ f^{''} (x)$

④ (2) 反例を調べる。 $f (x) = x ∣ x ∣$ 、 $x = 0$ とする。 $f (0) = 0$ 、 $f (h) = h ∣ h ∣$ 、 $f (- h) = - h ∣ h ∣$ だから

$D (h) = \frac{h ∣ h ∣ - 0 + ( - h ∣ h ∣ )}{h ^{2}} = 0$

$h \neq = 0$ ならつねに $0$ である。したがって $lim_{h \to 0} D (h) = 0$ で、極限は確かに存在する。

一方、導関数を調べる。 $x > 0$ では $f = x^{2}$ で $f^{'} = 2 x$ 、 $x < 0$ では $f = - x^{2}$ で $f^{'} = - 2 x$ 、 $x = 0$ では $lim_{h \to 0} \frac{h ∣ h ∣}{h} = lim_{h \to 0} ∣ h ∣ = 0$ 。まとめると

$f^{'} (x) = 2∣ x ∣$

この $f^{'}$ は $x = 0$ で微分できない。右から近づけると $\frac{2 h - 0}{h} = 2$ 、左から近づけると $\frac{- 2 h - 0}{h} = - 2$ で食い違うからだ。よって $f^{''} (0)$ は存在しない。

y=x|x|(青)は原点でなめらかで、接線は x 軸そのもの。ところが導関数 y=f'(x)=2|x|(赤)は原点で折れる。2階微分はここで存在しない。対称2階差分 D(h) はこの折れを見逃す

まとめ: 対称2階差分は $f^{''}$ の「近似」としては正しい。しかし「存在の証拠」にはならない。左右の食い違いを、平均をとる過程で打ち消してしまうからだ。

発展 — 一歩先へ。 数値計算では $f^{''} (x) \approx D (h)$ をそのまま使う(2階中心差分)。 $f$ が4回微分できる場合、誤差が $h^{2}$ に比例することまで示せて、片側の差分よりずっと精度が高い。実用上はきわめて有能な近似式である。それでも本問(2)が示すとおり、 $D (h)$ が収束することから $f^{''}$ の存在は導けない。「近似式が使えること」と「極限が存在すること」は別問題なのだ。数値の世界と論理の世界の温度差を知る、よい教材である。

答

(1) 誤差 $R (h) = f (x + h) - f (x) - f^{'} (x) h - \frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2}$ が $\frac{R ( h )}{h ^{2}} \to 0$ を満たす(平均値の定理)ことから従う (2) $f (x) = x ∣ x ∣$ は $D (h) = 0$ で極限 $0$ をもつが、 $f^{'} (x) = 2∣ x ∣$ が $x = 0$ で微分できず $f^{''} (0)$ は存在しない

別解

$D (h)$ を「2つの傾きの差」と読む(意味から見る)。 式を次のように分解する。

$D (h) = \frac{1}{h} {\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} - \frac{f ( x ) - f ( x - h )}{h}}$

中カッコの中身は「右側の傾き」と「左側の傾き」だ。その差を、さらに $h$ で割っている。つまり $D (h)$ は「傾きの傾き」を測っている。これが $f^{''}$ に近づく、というのが(1)の意味である。

この読み方は、(2)の反例の正体もあらわにする。 $f (x) = x ∣ x ∣$ 、 $x = 0$ で計算してみよう。

右側の傾きは $\frac{f ( h ) - f ( 0 )}{h} = \frac{h ∣ h ∣}{h} = ∣ h ∣$ 。左側の傾きは $\frac{f ( 0 ) - f ( - h )}{h} = \frac{0 - ( - h ∣ h ∣ )}{h} = ∣ h ∣$ 。

両者は完全に一致する。だから差は $0$ 、 $D (h) = 0$ である。 $f^{'}$ は原点で $+ 2$ と $- 2$ に折れているのに、 $D$ が見ているのは「右の傾きと左の傾きの差」であり、その2つが同じ値 $∣ h ∣$ で $0$ に近づくために、折れが完全に隠れてしまうのだ。

打ち消しの構造がはっきり見えれば、(2)のような反例は自分で作れるようになる。

ポイント

誤差 $R (h)$ を定義し、平均値の定理で $\frac{R ( h )}{h ^{2}} \to 0$ を出す。
$f (x + h) + f (x - h)$ で1次の項が消え、 $f^{''} (x) h^{2}$ が残る。
$x ∣ x ∣$ は $D (h) = 0$ 。 $f^{'} = 2∣ x ∣$ の折れを $D$ は見逃す。

よくある間違い

(1)で $f (x \pm h)$ を「テイラー展開」と称して $\frac{1}{2} f^{''} (x) h^{2}$ の先まで書き、誤差の扱いをあいまいにする。必要なのは「誤差が $h^{2}$ より速く $0$ に行く」という一点で、それを平均値の定理で押さえるのが筋である。
(2)で $f (x) = x ∣ x ∣$ を「原点でなめらかでない関数」と早合点する。 $f$ 自身は原点で微分可能( $f^{'} (0) = 0$ )で、折れているのは導関数 $f^{'} (x) = 2∣ x ∣$ のほうだ。どの段で壊れているかを取り違えない。
$lim_{h \to 0} D (h)$ の存在を「 $f^{''} (x)$ の存在」と同一視する。この問題は、その2つが同値でないことを示すためにある。