三角関数の微分(tan)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\tan$ の微分は、公式として与えられる。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

だが、これは丸暗記する必要がない公式だ。

$\tan$ の定義を思い出そう。

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

分数の形をしている。 ならば、商の微分公式が使える。

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

$f=\sin x$、$g=\cos x$ と当てはめれば、$\tan$ の微分公式が自分の手で作れる。

公式は $3$ つの顔をもつ。

$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$$

どれも同じもの。 場面によって使いやすい形が違う。

まずは公式を使い、そのうえで導出を追ってみよう。 由来を知ると、忘れない。

$$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

(確認:$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ を商の微分すると $\frac{\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$。)

まとめ:$\tan$ の微分は $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$。${\sin }^2+{\cos }^2=1$ を使うと、$\frac{\sin }{\cos }$ の商の微分からきれいに出る。$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ でもある。

発展 — 一歩先へ。 $\tan$ の微分から、$\arctan$(逆正接)の微分が出る。そして、そこから $\pi$ が出てくる。

逆関数の微分を使おう。

$$y=\arctan x⟺x=\tan y$$

$x=\tan y$ を $y$ で微分すると

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{{\cos }^{2}y}=1+{\tan }^{2}y=1+x^2$$

逆数をとって

$$\boxed{(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}}$$

驚くほどきれいな式だ。 三角関数の逆関数を微分したら、$\sin$ も $\cos$ もない、ただの有理式になった。

この式を、逆から読む。

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$

そして、$0$ から $1$ まで積分すると

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}$$

$\pi$ が現れた!

なぜこれが重要か。

左辺は、代数的な関数($1$ と $x^2$ しかない)の積分だ。 そこに $\pi$ が出てくる。

この式が、$\pi$ を計算する道を開く。

$\frac{1}{1+x^2}$ を、等比級数として展開してみよう($|x|<1$)。

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots$$

($1$ 項ずつ確かめると、公比 $-x^2$ の無限等比級数だ。)

両辺を $0$ から $1$ まで積分する。

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$$

ライプニッツの公式。

奇数の逆数を、符号を交互に変えて足すと、$\frac{\pi }{4}$ になる。

円周率が、奇数の足し算から出てくる。

円とも三角形とも無関係な式から、$\pi$ が生まれる。

この式は $1674$ 年にライプニッツが発見し、当時のヨーロッパを驚かせた。(実はインドのマーダヴァが $300$ 年前に発見していた。)

ただし、収束はとてつもなく遅い。 $\pi$ を小数点以下 $2$ 桁求めるだけで、数百項が要る。実用にはならない。

それでも、この式の価値は計算にはない。

「代数と幾何が、微積分を通してつながっている」 — その事実を、これ以上なく鮮やかに示しているからだ。

$\tan$ の微分という、教科書の $1$ 行から、$\pi$ の無限級数まで、道は $1$ 本につながっている。

別解

商の微分公式で、$\tan$ の微分公式を自分で作る。

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ に、商の微分を当てはめる。

$$f=\sin x,g=\cos x$$ $$f^{\prime }=\cos x,g^{\prime }=-\sin x$$

公式に入れる。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}$$

分子を整理する。 マイナス $\times$ マイナスで、プラスになる。

$$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$$

ここで、三角関数の最重要公式が使える。

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

公式が導けた ✓

分子が $1$ になる瞬間が、この導出のクライマックスだ。

さて、分子を別の形で整理してみよう。

分子・分母を ${\cos }^{2}x$ で割る。

$$\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$$

$$\boxed{(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x}$$

$2$ つの表現が手に入った。

どちらを使うか。

$1+{\tan }^{2}x$ の形が便利なのは、「$\tan$ の値だけで導関数が書ける」ときだ。

たとえば、$\tan \theta =2$ となる点での傾きは?

$$1+2^2=5$$

$\cos$ の値を知らなくても、$5$ と即答できる。

この形は、微分方程式でも活躍する。

$$y^{\prime }=1+y^2$$

「変化率が、$1$ に自分の $2$ 乗を足したもの」という方程式。 解は $y=\tan (x+C)$ である。

もう $1$ つ、大事な観察。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$$

導関数は、常に正(${\cos }^{2}x>0$ だから)。

だから $\tan x$ は、定義されているどの区間でも、必ず増加している。

グラフを思い出そう。 $\tan$ は $-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで、$-\infty$ から $+\infty$ へ一直線に駆け上がる。下がる場面が $1$ 度もない。

「導関数が常に正 $\Rightarrow$ 単調増加」 — 微分の値が、グラフの形を語っている。

この単調性のおかげで、$\tan$ には逆関数($\arctan$)が存在する。 $1$ 対 $1$ だからだ。