数学III / 微分法の計算

合成関数の微分(指数)

★ 基礎合成関数の微分指数関数の微分

問題

関数 $y = e^{x^{2}}$ を微分せよ。

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外側は $e$ の累乗、内側は $x^{2}$ 。合成の規則で、内側の微分を忘れずに。

解答・解説

方針

合成関数。外側 $e^{()}$ の微分は $e^{()}$ 、内側 $x^{2}$ の微分は $2 x$ 。かけ合わせる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^{x^{2}}$ の肩に乗っているのは、 $x$ ではなく $x^{2}$ という式だ。

だから、これは合成関数である。

外側: $e^{()}$
内側: $x^{2}$

連鎖律を当てはめる。

外側の微分: $e^{x^{2}}$ (指数関数は微分しても変わらない)

内側の微分: $(x^{2})^{'} = 2 x$

掛ける。

$y^{'} = e^{x^{2}} \times 2 x = 2 x e^{x^{2}}$

書く順番の慣習として、係数を前に出して $2 x e^{x^{2}}$ とする。

間違えやすいのは、 $e^{x^{2}}$ を $e^{2 x}$ と混同することだ。

$e^{2 x}$ の内側は $2 x$ 、微分は $2$
$e^{x^{2}}$ の内側は $x^{2}$ 、微分は $2 x$

肩に何が乗っているかを、まず正確に読む。 そこからすべてが決まる。

公式

(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}

(連鎖律)

$u = x^{2}$ 、 $u^{'} = 2 x$ 。

$y^{'} = e^{x^{2}} \times 2 x = 2 x e^{x^{2}}$

まとめ: $e^{(中身)}$ の微分は「 $e^{(中身)}$ そのまま × 中身の微分」。中身が $x^{2}$ なら $\times 2 x$ 。指数はそのまま残り、中身の微分 $2 x$ が前に出る。

発展 — 一歩先へ。 $e^{x^{2}}$ の親戚に、統計学でもっとも有名な関数がいる。

$f (x) = e^{- x^{2}}$

符号がマイナスになっただけだ。

この関数のグラフは、 $x = 0$ を頂点とする、左右対称の釣鐘型。 正規分布の曲線である。

微分してみよう。

$f^{'} (x) = e^{- x^{2}} \times (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

$x = 0$ で $f^{'} (0) = 0$ — 頂点だ。

$x > 0$ で $f^{'} < 0$ — 右下がり。

$x < 0$ で $f^{'} > 0$ — 左上がり。

確かに、 $x = 0$ を頂点とする山になっている。

微分は簡単だった。 $3$ 秒で終わる。

では、積分は?

$\int e^{- x^{2}} d x = ?$

これが、できない。

「まだ誰も見つけていない」のではない。「初等関数では書けないことが、証明されている」のだ。

$x^{n}$ 、 $sin$ 、 $cos$ 、 $e^{x}$ 、 $lo g$ — これらをどう組み合わせても、 $e^{- x^{2}}$ の原始関数は作れない。

微分は $3$ 秒。積分は、永遠に不可能。

この非対称性は、微積分の深い真実を語っている。

微分は「機械的な作業」だ。 どんな関数も、 $3$ つの公式(和・積・合成)を組み合わせれば、必ず微分できる。アルゴリズムがある。

積分は「発見」である。 うまい変形を見つけられるかどうかの勝負で、そもそも答えが存在しないことすらある。

では、統計学者はどうやって正規分布の確率を計算しているのか。

数値積分だ。 コンピュータで面積を細かく足し上げる。そして、その結果を表にした。

正規分布表が存在する理由が、これである。 公式で計算できないから、あらかじめ計算した値を並べておくしかない。

ただし、面白い例外がある。

$- \infty$ から $\infty$ までの全積分だけは、きれいに求まる。

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

途中は計算できないのに、全体は $π$ 。

$2$ 次元にして極座標に変換すると、突然計算できるようになる( $1$ 次元では不可能、 $2$ 次元では可能)。

数学は、ときに「遠回りをすると近道になる」。

$e^{x^{2}}$ という、微分が $3$ 秒で終わる関数の裏に、こんな世界が広がっている。

答

$y^{'} = 2 x e^{x^{2}}$

別解

対数をとってから微分する — 対数微分法。

この方法は、指数の肩が複雑なときに真価を発揮する。

まず、両辺の自然対数をとる。

$lo g y = lo g e^{x^{2}} = x^{2}$

指数が、肩から降りてきた! これが対数の力だ。

両辺を $x$ で微分する。

左辺は合成関数である。 $y$ は $x$ の関数だから

$(lo g y)^{'} = \frac{1}{y} \cdot y^{'} = \frac{y ^{'}}{y}$

右辺は簡単。

$(x^{2})^{'} = 2 x$

等式にする。

$\frac{y ^{'}}{y} = 2 x$

$y^{'}$ について解く。

$y^{'} = 2 x \cdot y = 2 x e^{x^{2}}$

本解と同じ答え ✓

この方法の何がすごいのか。

「肩に乗った式を、地上に降ろせる」ことだ。

$y = x^{x}$ を微分してみよう。

これは、べき関数( $x^{n}$ )でも指数関数( $a^{x}$ )でもない。 底も肩も $x$ で、どの公式も当てはまらない。

だが、対数微分法なら解ける。

$lo g y = x lo g x$

右辺を、積の微分で微分する。

$\frac{y ^{'}}{y} = 1 \cdot lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = lo g x + 1$

$y^{'} = x^{x} (lo g x + 1)$

どの公式でも歯が立たなかった関数が、あっさり微分できた。

対数微分法が効く場面は、 $3$ つある。

① 指数の肩に式がある( $e^{x^{2}}$ 、 $x^{x}$ 、 $x^{s i n x}$ )

② 積・商が入り組んでいる

$y = \frac{( x + 1 ) ^{3} ( x - 2 ) ^{5}}{( x + 3 ) ^{7}}$

このまま商と積の微分をやると、地獄だ。 対数をとれば

$lo g y = 3 lo g (x + 1) + 5 lo g (x - 2) - 7 lo g (x + 3)$

掛け算と割り算が、足し算と引き算になった。 微分は $3$ 行で終わる。

$\frac{y ^{'}}{y} = \frac{3}{x + 1} + \frac{5}{x - 2} - \frac{7}{x + 3}$

③ 累乗の指数が変数

対数のもつ「掛け算を足し算にする」性質が、微分を劇的に簡単にする。

$lo g$ は、ただの関数ではない。計算を"翻訳"する装置なのだ。

ポイント

$(e^{u})^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ 。
指数はそのまま、中身の微分を前に。

よくある間違い

$e^{x^{2}}$ と $e^{2 x}$ を混同し、内側の微分を $2$ としてしまう。肩が $x^{2}$ なら、その微分は $2 x$
$e^{x^{2}}$ の微分で、 $e$ の肩まで微分して $e^{2 x}$ としてしまう。外側( $e$ の部分)は微分しても変わらない
$(e^{x^{2}})^{'} = x^{2} e^{x^{2} - 1}$ のように、べき関数の公式を使う。 $x^{n}$ と $e^{()}$ はまったく別の関数