逆関数の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆関数 $g$ の導関数を、$g$ を式で書かずに求めたい。$y=x+e^x$ は $x$ について解けないからだ。

逆関数の微分公式 $g^{\prime }(y)=\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ を使う。必要なのは「$y=1$ に対応する $x$」と、そこでの $\frac{dy}{dx}$。

$x+e^x=1$ を満たすのは $x=0$($0+e^0=1$)。そこでの $\frac{dy}{dx}=1+e^x=2$。逆数をとって $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。

① 対応する $x$。 $y=1$ となる $x$ は $x+e^x=1$。$x=0$ で $0+e^0=0+1=1$ を満たす。$\frac{dy}{dx}=1+e^x>0$ で単調増加だから逆関数は存在し、$y=1\leftrightarrow x=0$。

② $\frac{dy}{dx}$。 $\frac{dy}{dx}=1+e^x$、$x=0$ で $1+e^0=2$。

③ 逆関数の微分。 $$g^{\prime }(1)=\frac{dx}{dy}{|}_{y=1}=\frac{1}{dy/dx}{|}_{x=0}=\frac{1}{2}.$$

まとめ $y=1\leftrightarrow x=0$、$\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=2$、逆関数の微分で $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。逆関数の微分と指数関数の融合。対応する $x$ を先に見つける。

発展 — 一歩先へ。 $y=x+e^x$ は $\frac{dy}{dx}=1+e^x>0$ で常に増加、だから逆関数が全域で存在する。「単調な関数だけが逆関数をもつ」という原則の好例だ。逆関数の微分公式 $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ は、$f^{\prime }(x)\ne 0$(接線が水平でない)なら必ず使える — 傾きが $0$ の点でだけ逆関数の微分が破綻する。

別解

別解 — 逆関数のグラフの「傾きは逆数」を図で捉える(苦手な人向け)。 逆関数 $y=g(x)$ のグラフは、元の関数 $y=f(x)$ のグラフを直線 $y=x$ について折り返したものだ。

折り返すと、$x$ 軸と $y$ 軸が入れ替わる。だから、元のグラフのある点での傾きが $m$ なら、折り返した後の対応する点での傾きは $\frac{1}{m}$(縦横が入れ替わるから逆数)。

元の関数 $f(x)=x+e^x$ で、$g^{\prime }(1)$ に対応するのは「$f$ の出力が $1$ になる点」。$f(0)=0+e^0=1$ だから、その点は $x=0$。そこでの $f$ の傾きは $f^{\prime }(0)=1+e^0=2$。

折り返しで逆数をとって $g^{\prime }(1)=\frac{1}{2}$。公式 $g^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$ の暗記に頼らず、「$y=x$ で折り返すと傾きが逆数」という図の性質から同じ答えが出る。