微分法の計算の解説

微分法の計算は、数学IIで整式にしか使えなかった微分を、積・商・合成関数、三角関数、指数関数、対数関数、累乗根へ広げる単元です。図解はほとんどなく、純粋な計算練習の単元ですが、ここで手が止まると数学IIIの応用問題はすべて解けなくなります。この記事では、公式を「覚えるもの」と「組み合わせるもの」に分け、計算ミスを減らす順序を説明します。

覚える公式は7本

微分の基本公式は、$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$、$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$、$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$、$(e^x{)}^{\prime }=e^x$、$(a^x{)}^{\prime }=a^x\log a$、$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ の7本です。${\log }_{a}x$ は $\frac{\log x}{\log a}$ と底を変換してから微分します。基礎12問は、この7本を1つずつ確認する問題です。三角関数の微分(sin)から対数関数の微分、累乗の微分(分数・根号)まで、公式が出てくる順に進んでください。

組み合わせる規則は3つ

積の微分 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$、商の微分 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$、合成関数の微分 $\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$ の3つで、上の7本を組み合わせます。積の微分、商の微分、合成関数の微分で規則を確認したら、標準の積の微分(三角関数)、合成関数の微分(三角×2乗)、応用の合成関数の微分(指数×三角)と、組合せを複雑にしていってください。

合成関数の微分は、「外側を微分してから、内側の微分をかける」という順序で、内側の微分を忘れるのが最も多いミスです。$(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$ の「2」、$(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$ の「$2x$」が、内側の微分です。難関の多重の合成関数の微分は、内側が2段・3段になった問題で、外側から順に1段ずつ剥がす練習になります。

対数微分法・媒介変数・陰関数・逆関数

$x^x$ や、積と商と根号が混じった関数は、両辺の対数をとってから微分します(対数微分法)。$y=x^x$ なら $\log y=x\log x$ として、$\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+1$ から $y^{\prime }=x^x(\log x+1)$ です。標準の対数微分法と応用の積と商、x の sin 乗で、「対数をとると積が和になる」利点を確かめてください。

媒介変数表示 $x=f(t)$、$y=g(t)$ の微分は $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ です(標準の媒介変数表示の微分、応用の円)。第2次導関数は、$\frac{dy}{dx}$ をもう一度 $t$ で微分して $\frac{dx}{dt}$ で割ります(難関の媒介変数表示の第2次導関数)。「$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{g^{\prime \prime }(t)}{f^{\prime \prime }(t)}$」とするのは誤りです。

陰関数 $x^2+y^2=1$ の微分は、$y$ を $x$ の関数とみて両辺を $x$ で微分し、$2x+2y{y}^{\prime }=0$ から $y^{\prime }=-\frac{x}{y}$ とします(応用の陰関数の微分)。逆関数の微分は $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}$ です(応用の逆関数の微分)。

高次導関数は「規則を見つける」

第2次導関数は、導関数をもう一度微分するだけです(標準の第2次導関数)。第 $n$ 次導関数を求める問題は、最初の数回を計算して規則を予想し、必要なら帰納法で確かめます。$\sin x$ の $n$ 次導関数は $\sin \left(x+\frac{n\pi }{2}\right)$ で、微分のたびに位相が $\frac{\pi }{2}$ 進む、という見方です(応用の第n次導関数(三角関数))。

計算ミスを減らす順序

この単元の失点は、公式の知識ではなく、計算の途中で起きます。合成関数の内側の微分の忘れ、商の微分の分子の符号(引く順序)、対数微分法で最後に $y$ をかけ忘れる、の3つが典型です。

対策は、「どの規則を使うか」を式の外側から決めて、1段ずつ書くことです。$e^x\sin 2x$ なら、まず積の微分で $(e^x{)}^{\prime }\sin 2x+e^x(\sin 2x{)}^{\prime }$ と書き、次に $(\sin 2x{)}^{\prime }$ を合成関数として $2\cos 2x$ にする、という順序です。頭の中で2段を同時にやると、内側の微分が落ちます。

検算は、微分した結果を簡単な値(たとえば $x=0$)で評価し、元の関数の増減と合っているかを確かめる程度で十分です。

学習の順序と入試での出方

基礎12問で7本の公式と3つの規則を確認し、標準12問で三角・指数・対数の組合せ、対数微分法、第2次導関数、媒介変数、無理関数を扱い、応用8問で対数微分法の発展、第 $n$ 次導関数、陰関数、逆関数へ進みます。

この単元は、単独で入試に出ることは少なく、次の「微分法の応用」の中で使われます。実戦編には、ライプニッツの公式、$x^x$ の微分、アステロイドとデカルトの葉線の媒介変数・陰関数微分、$\frac{1}{1-x}$ の $n$ 階導関数を、最難関編には、微分可能だが導関数が連続でない関数、すべての階の微分係数が0になる関数など、微分の概念そのものを問う問題を集めました。