数学III / 微分法の計算

第n次導関数(三角関数)

★★★ 応用高次導関数三角関数の微分

問題

関数 $y = sin x$ について、第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ を求めよ。また、微分をくり返すと導関数がどう循環するかを述べよ。

ヒントを見る

$1$ 回ずつ丁寧に微分して、 $4$ 回分を書き並べてみよう。列を見れば循環の周期は一目瞭然。

解答・解説

方針

$sin x$ を順に微分していく。 $sin \to cos \to - sin \to - cos \to sin$ と、 $4$ 回で元に戻る循環がある。 $y^{''}$ は $2$ 回微分した $- sin x$ 。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin x$ を繰り返し微分すると、 $sin \to cos \to - sin \to - cos \to sin$ と変わっていく。 $4$ 回で元に戻る。

この周期性を見抜くのが主題だ。

高次導関数では、微分を繰り返して現れる周期パターンを捉える。この発想を持って進む。

重要

sin x

の微分は

4

回で一周する:

sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x

① 順に微分する。

$y^{'} = (sin x)^{'} = cos x$

$y^{''} = (cos x)^{'} = - sin x$

② 循環を確認する。 さらに続けると

$y^{'''} = (- sin x)^{'} = - cos x, y^{(4)} = (- cos x)^{'} = sin x$

$4$ 回微分すると元の $sin x$ に戻る。よって第 $2$ 次導関数は

$y^{''} = - sin x$

まとめ: $sin x$ を微分し続けると $sin \to cos \to - sin \to - cos \to sin$ の $4$ 周期でぐるぐる回る。 $n$ 回微分の結果は $n$ を $4$ で割った余りで決まる。 $y^{''} = - sin x$ は、 $sin$ が自分自身の $- 1$ 倍に戻る(単振動の方程式)important な関係だ。

発展 — 一歩先へ。 $y^{''} = - sin x = - y$ という関係は、 $sin x$ が「 $2$ 階微分すると自分の $- 1$ 倍に戻る」関数であることを示す。これは単振動の方程式 $y^{''} + y = 0$ そのものだ。

この方程式の解は、 $sin x$ と $cos x$ の組み合わせに限られる。ばねやふりこの運動が三角関数で書けるのは、背景にこの $y^{''} = - y$ があるからだ。

周期が $4$ になる深い理由は、複素指数 $e^{i x}$ にある。 $\frac{d}{d x} e^{i x} = i e^{i x}$ で、微分は「 $i$ を掛ける」操作。 $i$ は $i, - 1, - i, 1$ と $4$ 乗で $1$ に戻るから、 $sin x$ の微分も $4$ 周期で回る。

答

$y^{''} = - sin x$ 。 $sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x$ と 4 回で戻る

別解

別解 — 位相をずらす見方でまとめて出す(得意な人向けの視点)。 $sin x$ の微分は、じつは「位相を $\frac{π}{2}$ 進める」操作と同じだ。

$(sin x)^{'} = cos x = sin (x + \frac{π}{2})$ だから、 $1$ 回微分するごとに角に $\frac{π}{2}$ が足される。よって $n$ 回微分すると

$y^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2}) .$

$n = 2$ を入れると $y^{''} = sin (x + π) = - sin x$ 。第 $2$ 次だけでなく、どの階数もこの $1$ つの式で一度に出る。

$1$ 回ずつ書き並べる本解と同じ答え。周期 $4$ の正体は、 $4$ 回で位相が $2 π$ 進んで一周することだ。

ポイント

$sin x$ の微分は $4$ 回で一周(周期 $4$ )。
$y^{''} = - sin x$ ( $sin$ は $2$ 階微分で $- 1$ 倍)。

よくある間違い

微分のたびの符号を追い切れず、 $y^{''} = - sin x$ の負号を落として $sin x$ と答える。
$cos x$ の微分を $sin x$ (符号なし)とし、循環の向きを反対に取り違える。
周期を $4$ でなく $2$ と思い込み、 $y^{''}$ で元の $sin x$ に戻ると誤る。