三角関数の微分(sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin 2x$ は、$\sin$ の中に $2x$ が入った合成関数だ。

• 外側: $\sin ()$
• 内側: $2x$

手順は、いつもの連鎖律である。

外側の微分: $(\sin u{)}^{\prime }=\cos u$ だから $\cos 2x$。

内側の微分: $(2x{)}^{\prime }=2$。

掛ける。

$$y^{\prime }=\cos 2x\times 2=2\cos 2x$$

ここでも、$\times 2$ を忘れないことが命だ。

間違いに気づく方法がある。

$\sin 2x$ は、$\sin x$ より $2$ 倍の速さで振動している。 波が急なぶん、傾きも大きくなるはずだ。

だから、微分して振幅が $2$ 倍($2\cos 2x$)になるのは、むしろ自然なのである。

「速く振動する波は、傾きも大きい」 — この感覚をもっておくと、$\times 2$ を落としたときに違和感が働く。

$u=2x$ とみる。$(\sin u{)}^{\prime }=\cos u$、内側 $u^{\prime }=(2x{)}^{\prime }=2$。

$$y^{\prime }=\cos 2x\times 2=2\cos 2x$$

まとめ:$\sin$ の微分は $\cos$。中身が $2x$ のように $x$ 以外なら合成関数で、内側の微分 $2$ を忘れずにかける。$\sin (\text{中身})$ の中身が複雑なほど連鎖律が効く。

発展 — 一歩先へ。 $\sin \omega x$ の微分に現れる係数 $\omega$ は、物理では角速度と呼ばれる。

波の式を見てみよう。

$$y=A\sin (\omega t)$$

• $A$: 振幅(波の高さ)
• $\omega$: 角速度(振動の速さ)
• $t$: 時間

この波の"速度"は、時間で微分して

$$v=\frac{dy}{dt}=A\omega \cos (\omega t)$$

速度の振幅は $A\omega$ — 角速度 $\omega$ が掛かる。

もう $1$ 回微分すると、加速度が出る。

$$a=\frac{dv}{dt}=-A{\omega }^2\sin (\omega t)=-{\omega }^{2}y$$

驚くべき関係が現れた。

$$\boxed{a=-{\omega }^{2}y}$$

「加速度は、位置に比例し、向きは逆」

これは単振動の運動方程式そのものだ。

バネにつないだおもりを思い浮かべよう。

フックの法則: バネの力は伸びに比例し、向きは逆($F=-kx$)。

ニュートンの運動方程式: $F=ma$。

合わせると

$$ma=-kx⟹a=-\frac{k}{m}x$$

これは、上で微分から出てきた $a=-{\omega }^{2}y$ と同じ形だ!

$${\omega }^2=\frac{k}{m}⟹\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

振動の速さ(角速度)が、バネの硬さと重さから決まる。

周期は

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

「重いおもりはゆっくり、硬いバネは速く振動する」 — 直感と合う。

なぜ $\sin$ なのか。

$y^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}y$ という方程式(「$2$ 回微分すると、自分自身の $-{\omega }^2$ 倍」)を満たす関数は、$\sin$ と $\cos$ しかない。

振動する現象が、必ず $\sin$ 波になる理由が、ここにある。

• 音波・光波・電波
• 交流電流
• 振り子・バネ・原子の熱振動

すべて $y^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}y$ に従い、すべて $\sin$ で書ける。

$(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$ という計算の中の $2$ は、世界が振動する速さそのものなのだ。

別解

$2$ 倍角の公式で書き直し、積の微分で解く。

まったく違う道から、同じ答えにたどり着けるかを確かめる別解である。

$2$ 倍角の公式を思い出す。

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$

この形なら、合成関数ではなく積の形だ。

積の微分公式を使う。 $f=\sin x$、$g=\cos x$ とする。

$$f^{\prime }=\cos x,g^{\prime }=-\sin x$$

$$y=2fg$$

$$y^{\prime }=2\left(f^{\prime }g+f{g}^{\prime }\right)=2\left\{\cos x\cdot \cos x+\sin x\cdot (-\sin x)\right\}$$

$$=2\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)$$

ここで、また $2$ 倍角の公式が使える。

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

$$y^{\prime }=2\cos 2x$$

本解と、完全に一致した ✓

この一致は、偶然ではない。

同じ関数を微分しているのだから、どんな道を通っても答えは同じになる。 数学の整合性そのものだ。

そして、この計算には副産物がある。

途中で出てきた式

$$(\sin 2x{)}^{\prime }=2({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$$

と、公式から得た

$$(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$$

を比べると

$$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

$2$ 倍角の公式が、微分から"再発見"できた。

微分は、恒等式を検証する道具にもなる。

「$2$ つの関数が等しいなら、その導関数も等しい」 — この当たり前の事実を使うと、公式の検算ができる。

逆に言えば、導関数が違えば、もとの関数は違う。

たとえば「$\sin 2x=2\sin x$」という間違った式を疑うには、微分してみればいい。

$$\text{左辺の微分}=2\cos 2x,\text{右辺の微分}=2\cos x$$

$x=\frac{\pi }{2}$ で、左辺は $2\cos \pi =-2$、右辺は $2\cos \frac{\pi }{2}=0$ — 一致しない。

微分が違うのだから、もとの式も間違い。

公式に自信がないときは、微分してみる。 意外に強力な検算法である。