数学III / 微分法の計算

合成関数の微分(三角×2乗)

★★ 標準合成関数の微分三角関数の微分

問題

関数 $y = sin (x^{2})$ を微分せよ。

ヒントを見る

外側が $sin$ 、内側が $x^{2}$ 。見た目の似ている $sin^{2} x$ ( $2$ 乗が外)との違いを意識して、外→内の順に。

解答・解説

方針

合成関数。外側 $sin ()$ の微分は $cos ()$ 、内側 $x^{2}$ の微分は $2 x$ 。かけ合わせる。 $sin^{2} x$ (= $(sin x)^{2}$ )とは別物なので注意。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $sin (x^{2})$ は「 $x^{2}$ を計算してから $sin$ に入れる」二段構えの関数(合成関数)だ。合成の微分は連鎖律 — 外と内の微分の掛け算。

$y^{'} = 外の微分 (中身そのまま) cos (x^{2}) \times 内の微分 2 x$

まぎらわしい兄弟 $sin^{2} x = (sin x)^{2}$ とは別物であることに注意。あちらは「 $sin$ してから $2$ 乗」で、微分は $2 sin x cos x$ — 合成の順序が違えば答えも違う。

公式

(sin u)^{'} = cos u \cdot u^{'}

(連鎖律)

$u = x^{2}$ 、 $u^{'} = 2 x$ 。

$y^{'} = cos (x^{2}) \times 2 x = 2 x cos (x^{2})$

まとめ: $sin (x^{2})$ は「 $sin$ の中身が $x^{2}$ 」の合成関数。外側 $sin \to cos$ (中身そのまま)、内側 $x^{2}$ の微分 $2 x$ をかける。 $sin^{2} x = (sin x)^{2}$ とは全くの別物なので、書き方に注意。

発展 — 一歩先へ。 $y^{'} = 2 x cos (x^{2})$ をよく見ると、 $x$ が大きいほど振幅が育つ。もとの $sin (x^{2})$ は $\pm 1$ に収まる波なのに、傾きは際限なく急になる — $x^{2}$ のせいで波の間隔がどんどん詰まるからだ(チャープ信号と呼ばれ、レーダーやコウモリの超音波がこの形)。導関数が関数本体より「暴れる」例として面白い。

なお $sin^{2} x$ の微分 $2 sin x cos x = sin 2 x$ も、実は合成( $u = sin x$ の $2$ 乗)。⓪で対比した兄弟は、どちらも連鎖律の練習台である。

答

$y^{'} = 2 x cos (x^{2})$

別解

連鎖律を「公式」でなく増幅率のリレーとして見ると、掛け算になる理由ごと頭に入る。

中継点に名前をつける。 $u = x^{2}$ 、 $y = sin u$ 。ライプニッツの記法で

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

— 「 $x$ が動くと $u$ がその $\frac{d u}{d x}$ 倍動き、 $u$ が動くと $y$ がさらに $\frac{d y}{d u}$ 倍動く」。変化の倍率がリレーのように掛け算で伝わる、というのが連鎖律の中身だ。

$\frac{d y}{d u} = cos u, \frac{d u}{d x} = 2 x ⟹ \frac{d y}{d x} = cos (x^{2}) \cdot 2 x$

記法上も $d u$ が「約分」されるように見えて覚えやすい。

三段の合成( $sin (e^{x^{2}})$ など)になっても、中継点を $2$ つ置いてリレーを $3$ 本つなぐだけ — 「合成が深くなったら、名前をつけて一段ずつ」が数IIIの微分の背骨である。

ポイント

$sin (x^{2})$ は中身 $x^{2}$ の合成関数。
$sin (x^{2})$ と $sin^{2} x$ は別物。

よくある間違い

内側の微分 $2 x$ を掛け忘れて $cos (x^{2})$ で止める(合成の最頻ミス)
$sin (x^{2})$ と $sin^{2} x$ を混同する(計算の前に「どちらが先か」を確認)
外の微分で中身まで微分して $cos (2 x)$ とする(外の微分は中身そのまま)