商の微分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の形をした関数だ。商の微分公式を使う。

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

この公式には、間違えやすい点が $2$ つある。

① 分子は引き算。 しかも順番が命だ。

$$f^{\prime }g-f{g}^{\prime }(\text{f を微分したほうが先})$$

逆にすると、符号が丸ごと反対になる。

② 分母は $g^2$。 $g$ ではない。

覚え方のコツ。

「分子を微分 $\times$ 分母 $-$ 分子 $\times$ 分母を微分、全部を分母の $2$ 乗で割る」

呪文のように唱えて、順序を体に入れてしまうのが早い。

あとは $f=x$、$g=x+1$ と仕分けて、機械的に当てはめるだけである。

$f=x$、$g=x+1$。$f^{\prime }=1$、$g^{\prime }=1$。

$$y^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}$$

分子を整理する。

$$=\frac{(x+1)-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$$

まとめ:商の微分は分子が「$f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$」(引き算の順番が大事)、分母が「$g^2$」。分子の順番を逆にすると符号が変わるので、$f^{\prime }g$ が先、と覚える。

発展 — 一歩先へ。 微分の公式は、たくさんあるように見える。だが、本当に必要なのは $3$ つだけだ。

基本の $3$ 公式。

和・定数倍。

$$(af+bg{)}^{\prime }=a{f}^{\prime }+b{g}^{\prime }$$

積。

$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

合成(連鎖律)。

$$\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

この $3$ つから、他はすべて導ける。

商の微分は? $\frac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$ と書いて、積と合成から出る。

$\tan$ の微分は? $\frac{\sin }{\cos }$ の商だから、これも積と合成から出る。

逆関数の微分は? $f(f^{-1}(x))=x$ の両辺を、合成の規則で微分すれば出る。

対数微分法は? $\log y$ を、合成の規則で微分するだけ。

「公式が多い」のではなく、「$3$ つの原理の応用例が多い」のだ。

この視点をもつと、記憶の負担が激減する。

そして、なぜ $3$ つなのか。

関数の作り方が、$3$ 通りしかないからだ。

• 足す・定数倍する → 和・定数倍の規則
• 掛ける → 積の規則
• 入れ子にする → 合成の規則(連鎖律)

どんなに複雑な関数も、この $3$ つの操作を組み合わせて作られている。

たとえば

$$y=\frac{e^{x^2}\sin x}{\log (3x+1)}$$

この怪物も、分解すればこうだ。

• $e^{x^2}$ — 合成($e^{()}$ と $x^2$)
• $e^{x^2}\sin x$ — 積
• $\log (3x+1)$ — 合成
• 全体 — 商($=$ 積 $\times$ 逆数、つまり積と合成)

$3$ つの原理を、正しい順番で適用していけば、必ず微分できる。

「微分は、どんな関数でも機械的に計算できる」

これが微分の恐ろしい強さだ。 積分がしばしば「解けない」($e^{x^2}$ の積分は初等関数で書けない)のとは、対照的である。

微分は、有限の手順で必ず終わる。積分は、終わらないことがある。

この非対称性が、微積分という学問の面白さの源になっている。

別解

商の微分公式を使わずに解く。式を変形すればいい。

分数を、割り算で整理する。

$$\frac{x}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$$

確かめる。 $x=1$ なら、左辺 $=\frac{1}{2}$、右辺 $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ✓

この形なら、商の微分は要らない。

$1$ は定数だから、微分すると $0$。

残りの $-\frac{1}{x+1}$ を微分する。 これは合成関数だ。

$$-\frac{1}{x+1}=-(x+1{)}^{-1}$$

べきの微分($(u^p{)}^{\prime }=p{u}^{p-1}{u}^{\prime }$)を使う。 内側 $x+1$ の微分は $1$。

$$y^{\prime }=-\left\{-1\cdot (x+1{)}^{-2}\cdot 1\right\}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$$

本解と同じ答え ✓

この方法の $2$ つの利点。

利点 $1$: 公式を $1$ つ減らせる。

そもそも、商の微分公式は覚えなくてもよい。

$$\frac{f}{g}=f\cdot g^{-1}$$

と書けば、積の微分 $+$ 合成関数の微分で導ける。

$${\left(f\cdot g^{-1}\right)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{-1}+f\cdot (-1)g^{-2}{g}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{g}-\frac{f{g}^{\prime }}{g^2}=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$$

商の公式は、積と合成から自動的に出てくる。 独立した公式ではないのだ。

「公式を減らして、原理を増やす」 — 覚える量が減り、応用は広がる。

利点 $2$: グラフが見える。

$$y=1-\frac{1}{x+1}$$

これは双曲線だ。 漸近線は $x=-1$ と $y=1$。

しかも、導関数

$$y^{\prime }=\frac{1}{(x+1{)}^2}>0$$

は、$x\ne -1$ のすべてで正。

この関数は、どこでも増加している。

$x=-1$ を境に、左の枝も右の枝も、それぞれ右上がり — 双曲線の $2$ 本の枝が、どちらも増加している姿が目に浮かぶ。

「割り算で整理する」というひと手間が、微分を楽にし、グラフまで見せてくれる。