1/(1−x) の n階導関数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{1-x}=(1-x{)}^{-1}$ とみて、まず数回微分して規則を探す。

$y^{\prime }=(1-x{)}^{-2}$、$y^{\prime \prime }=2(1-x{)}^{-3}$、$y^{\prime \prime \prime }=6(1-x{)}^{-4}$。$1$ 回ごとに指数が $1$ 下がり($-2,-3,-4,\dots$)、係数に新しい因子が掛かる($1,2,6,\cdots =n!$)。

内側の微分 $-1$ とマイナスの指数のマイナスが打ち消し合って、符号は常に正。規則が見えたら帰納法で $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ を確定する。

① 数回微分。 $y=(1-x{)}^{-1}$。 $$y^{\prime }=(-1)(1-x{)}^{-2}(-1)=(1-x{)}^{-2},$$ $$y^{\prime \prime }=(-2)(1-x{)}^{-3}(-1)=2(1-x{)}^{-3},y^{\prime \prime \prime }=(-3)\cdot 2(1-x{)}^{-4}(-1)=6(1-x{)}^{-4}.$$ 係数は $1,2,6=1!,2!,3!$。

② 帰納法。 $y^{(k)}=k!(1-x{)}^{-(k+1)}$ を仮定して微分すると、上の公式($m=k+1$)から $$y^{(k+1)}=k!\cdot (k+1)(1-x{)}^{-(k+2)}=(k+1)!(1-x{)}^{-(k+2)}.$$ ③ 結論。 帰納法により、すべての自然数 $n$ で $$y^{(n)}=n!(1-x{)}^{-(n+1)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}.$$

まとめ 合成関数の微分で係数が $n!$、指数が $-(n+1)$ に育ち、帰納法で $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$。高次導関数と合成関数(帰納法)の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ を $n!$ で割ると $\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}=\sum _k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n}{n}\right)x^k$。つまり $\frac{1}{1-x}$ の高階微分は、二項係数(重複組合せ)を生成する装置になっている。母関数の理論で「$\frac{1}{(1-x{)}^m}$ の係数が組合せの数」という事実の源が、この単純な微分公式である。

別解

別解 — 等比級数を項別に微分する(得意な人向けの高い視点)。 $|x|<1$ では、$\frac{1}{1-x}$ は等比級数に開ける。

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k.$$

これを項別に $n$ 回微分する。$x^k$ を $n$ 回微分すると $k(k-1)\cdots (k-n+1)x^{k-n}$(定数項以下は消える)。とくに $x^n$ の項からは、定数 $n(n-1)\cdots 1=n!$ が生まれる。

左辺の $n$ 階微分は $\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ の定数倍のはずで、$x=0$ での値を比べると、右辺の定数項がちょうど $n!$。だから

$${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}.$$

1回ずつ微分して規則をつかむ本解に対し、こちらは無限級数の項別微分から $n!$ を直接読み取る。$\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$ の級数展開に二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n}\right)$ が現れるのも、この計算の副産物だ。