数学III / 微分法の計算

合成関数の微分(対数)

★ 基礎合成関数の微分対数関数の微分

問題

関数 $y = lo g (2 x + 1)$ を微分せよ。

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対数の微分は『中身の微分 ÷ 中身』の形になる。中身が $1$ 次式なので分子は定数。

解答・解説

方針

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。 $u = 2 x + 1$ 、 $u^{'} = 2$ 。分子が内側の微分、分母が中身そのもの。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $lo g (2 x + 1)$ は、 $lo g$ の中に $2 x + 1$ が入った合成関数だ。

連鎖律を当てはめる。

外側: $(lo g u)^{'} = \frac{1}{u}$ だから $\frac{1}{2 x + 1}$ 。

内側: $(2 x + 1)^{'} = 2$ 。

掛ける。

$y^{'} = \frac{1}{2 x + 1} \times 2 = \frac{2}{2 x + 1}$

この形を、公式として覚えておくと速い。

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$

「中身の微分 $\div$ 中身」

分子に内側の微分、分母に中身そのもの。 きれいな形だ。

この公式は、応用範囲が広い。

${lo g (x^{2} + 1)}^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}, (lo g sin x)^{'} = \frac{cos x}{sin x}$

「中身の微分を、中身で割る」だけで、どんな対数も微分できる。

公式

(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

(中身の微分 ÷ 中身)

$u = 2 x + 1$ 、 $u^{'} = 2$ 。

$y^{'} = \frac{u ^{'}}{u} = \frac{2}{2 x + 1}$

まとめ: $lo g (中身)$ の微分は $\frac{( 中身の微分 )}{( 中身 )}$ 。 $lo g x$ の $\frac{1}{x}$ が、 $\frac{1}{u} \times u^{'}$ に一般化された形だ。分子に内側の微分がくる。

発展 — 一歩先へ。 $(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ という式には、経済学でおなじみの意味がある。

この $\frac{u ^{'}}{u}$ を、対数微分または成長率という。

なぜ「成長率」なのか。

$\frac{u ^{'}}{u} = \frac{変化の速さ}{今の量}$

「今の量に対して、何割増えているか」 — つまり変化率をパーセントで測ったものだ。

具体例で見よう。

売上が $100$ 万円のとき、 $1$ 年で $10$ 万円増えた。 成長率は

$\frac{10}{100} = 0.1 = 10%$

売上が $1000$ 万円のとき、 $10$ 万円増えた。 成長率は

$\frac{10}{1000} = 0.01 = 1%$

同じ「 $10$ 万円増」でも、意味がまるで違う。

規模が違うものを比べるには、絶対量( $u^{'}$ )ではなく、相対量( $\frac{u ^{'}}{u}$ )を見なければならない。

そして、この相対量こそが「 $lo g$ の微分」なのである。

$\frac{d}{d t} lo g u = \frac{u ^{'}}{u} = (成長率)$

「対数をとって微分すると、成長率が出る」

だから、経済のグラフは対数目盛りで描かれることが多い。

株価のチャートを、対数目盛りで見ると。

直線に見える → 一定の成長率(毎年 $x %$ ずつ)
傾きが急 → 成長率が高い

通常目盛りだと、価格が高くなるほどグラフが急に見えて、成長率の比較ができない。

対数目盛りなら、「 $100$ 円 → $200$ 円」と「 $10000$ 円 → $20000$ 円」が、同じ高さの上昇として描かれる。 どちらも $2$ 倍だからだ。

さらに、対数微分は積を分解する。

$lo g (uv) = lo g u + lo g v$

両辺を微分すると

$\frac{( uv ) ^{'}}{uv} = \frac{u ^{'}}{u} + \frac{v ^{'}}{v}$

「積の成長率は、成長率の和」

売上 $=$ 客数 $\times$ 単価なら

$(売上の成長率) = (客数の成長率) + (単価の成長率)$

客数が $3%$ 増、単価が $2%$ 増なら、売上は約 $5%$ 増。

掛け算の関係が、足し算で扱えるようになる。

これがビジネスの現場で「対数」が使われる理由だ。

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ という $1$ 行の公式が、成長率という概念の数学的な定義になっている。

答

$y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$

別解

置き換えを明示して、連鎖律を"分数の約分"として見る。

内側を、独立した文字で置く。

$u = 2 x + 1$

すると、もとの関数は $2$ 段に分かれる。

$y = lo g u, u = 2 x + 1$

それぞれを、独立に微分する。

$\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}, \frac{d u}{d x} = 2$

連鎖律を、ライプニッツの記法で書く。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u} \times 2 = \frac{2}{u}$

最後に、 $u$ を戻す。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 x + 1}$

本解と同じ ✓

この記法の美しさを、見てほしい。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

$d u$ が、分数のように約分されて消える。

もちろん、 $d y$ や $d u$ は本当の数ではないので、厳密には「約分」ではない。 それでも、この形に書くと連鎖律を絶対に忘れない。

ライプニッツ( $1646$ – $1716$ )は、この記法を意図的に設計した。

「記号がうまくできていれば、記号のほうが考えてくれる」 — これが彼の哲学だった。

同時代のニュートンは、微分を $\overset{y}{˙}$ (ドット)で書いた。 こちらは簡潔だが、連鎖律が見えない。

$\overset{y}{˙} = ?$

どちらの記法も正しい。だが、 $\frac{d y}{d x}$ のほうが圧倒的に使いやすかった。

結果、大陸ヨーロッパの数学は $18$ 世紀に飛躍し、ニュートン記法にこだわったイギリスの数学は $100$ 年遅れたと言われる。

記号の設計が、学問の速度を変えた。

$3$ 段階の合成なら、こう書ける。

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}$

どんなに深い入れ子でも、鎖のようにつないでいけばいい。

「何が何の関数か」を見失いそうになったら、この記法で書き出す。 迷子にならない道しるべになる。

ポイント

$(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ 。
分子が中身の微分、分母が中身。

よくある間違い

内側の微分( $\times 2$ )を忘れて $\frac{1}{2 x + 1}$ とする。 $(lo g u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ の分子を落とさない
$lo g (2 x + 1)$ を $lo g 2 x + lo g 1$ と展開してしまう。対数の性質は $lo g (ab) = lo g a + lo g b$ で、和の中身は分解できない
分子の $2$ を分母に入れて $\frac{1}{2 ( 2 x + 1 )}$ としてしまう。内側の微分は分子に掛かる