数学III / 微分法の計算

1/(1+x²) の第 n 次導関数の値

最難関編ライプニッツの公式高階導関数漸化式

問題

$y = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ とする。

(1) すべての自然数 $n$ に対して

$(1 + x^{2}) y^{(n + 1)} + 2 (n + 1) x y^{(n)} + n (n + 1) y^{(n - 1)} = 0$

が成り立つことを示せ。ライプニッツの公式 $(uv)^{(m)} = k = 0 \sum m (k m) u^{(k)} v^{(m - k)}$ を用いてよい。

(2) $y^{(n)} (0)$ を求めよ。

ヒントを見る

商のまま微分を重ねると分母が $(1 + x^{2})^{n + 1}$ に膨らむ。その前に、分母を消せないか。

$(1 + x^{2})$ は何回微分すると $0$ になるか。そこにライプニッツの公式が効く理由がある。

解答・解説

方針

商の形のまま $n$ 回微分するのは無理。分母を払って $(1 + x^{2}) y = 1$ とし、両辺を微分する。右辺は定数だから何回微分しても $0$ 。左辺はライプニッツで3項だけ残り、高階導関数の漸化式になる。 $x = 0$ を代入すれば値の漸化式が得られる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ をそのまま $n$ 回微分するのは無謀だ。商の微分を繰り返すたびに分母は $(1 + x^{2})^{n + 1}$ へ膨らみ、分子の多項式は手に負えなくなる。

そこで分母を払う。 $(1 + x^{2}) y = 1$ という「多項式 $\times$ 関数 $=$ 定数」の形にしてから微分するのだ。

右辺は定数だから、何回微分しても $0$ 。左辺は積のライプニッツの公式で展開できる。しかも $u = 1 + x^{2}$ は3階以上の導関数が $0$ なので、項は3つしか残らない。こうして高階導関数どうしの漸化式が手に入る。

あとは $x = 0$ を代入する。 $x$ の付いた項が消えて、値だけの漸化式になる。

公式ライプニッツの公式

(uv)^{(m)} = \sum_{k = 0}^{m} (k m) u^{(k)} v^{(m - k)}

① 分母を払う。 両辺に $1 + x^{2}$ を掛けて

$(1 + x^{2}) y = 1$

② 両辺を $n + 1$ 回微分する。 左辺に $u = 1 + x^{2}$ 、 $v = y$ としてライプニッツの公式を使う。 $u^{'} = 2 x$ 、 $u^{''} = 2$ 、 $u^{'''} = 0$ だから、和は $k = 0, 1, 2$ の3項で終わる。

$(0 n + 1) (1 + x^{2}) y^{(n + 1)} + (1 n + 1) (2 x) y^{(n)} + (2 n + 1) (2) y^{(n - 1)} = 0$

$(1 n + 1) = n + 1$ 、 $(2 n + 1) \cdot 2 = \frac{( n + 1 ) n}{2} \cdot 2 = n (n + 1)$ である。整理すると

$(1 + x^{2}) y^{(n + 1)} + 2 (n + 1) x y^{(n)} + n (n + 1) y^{(n - 1)} = 0$

右辺が $0$ なのは、定数 $1$ を $n + 1$ 回( $1$ 回以上)微分したからだ。

③ $x = 0$ を代入する。 $x$ の付いた第2項が消える。

$y^{(n + 1)} (0) = - n (n + 1) y^{(n - 1)} (0)$

出発点は $y (0) = 1$ と $y^{'} (0) = 0$ である( $y^{'} = - \frac{2 x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}}$ に $x = 0$ を入れる)。

漸化式は2つ飛びで値をつなぐ。奇数階は $y^{'} (0) = 0$ から出発するので、次々と $0$ になる。偶数階は $n + 1 = 2 m$ 、すなわち $n = 2 m - 1$ とおいて

$y^{(2 m)} (0) = - (2 m - 1) (2 m) y^{(2 m - 2)} (0)$

順に使うと $y^{''} (0) = - 1 \cdot 2 \cdot 1 = - 2$ 、 $y^{(4)} (0) = - 3 \cdot 4 \cdot (- 2) = 24$ 、 $y^{(6)} (0) = - 5 \cdot 6 \cdot 24 = - 720$ 。掛かる因数は $(2 m - 1) (2 m)$ で、これを $m$ まで掛け合わせると $(2 m)!$ になり、負号が $m$ 個つく。

$y^{(2 m)} (0) = (- 1)^{m} (2 m)!, y^{(2 m + 1)} (0) = 0$

まとめ: 商のままでは近寄れない高階導関数も、分母を払って「多項式 $\times$ 関数」にすれば、ライプニッツの公式が有限個の項で閉じてくれる。 $x = 0$ の代入で $x$ 付きの項を落とし、値の漸化式にする。この2手が高階微分の定石である。

発展 — 一歩先へ。 得られた値には見覚えのある形が潜んでいる。 $\frac{y ^{(2 m)} ( 0 )}{( 2 m )!} = (- 1)^{m}$ である。一方 $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ は初項 $1$ 、公比 $- x^{2}$ の無限等比級数の和として $1 - x^{2} + x^{4} - \dots$ と書ける( $∣ x ∣ < 1$ )。その $x^{2 m}$ の係数もまた $(- 1)^{m}$ だ。一般に「関数を $x$ のべきで書いたときの $x^{k}$ の係数」と「 $k$ 階微分係数」は $\frac{y ^{(k)} ( 0 )}{k !}$ で結ばれる。この対応(テイラー展開)は大学で本格的に学ぶが、その入り口は本問のような漸化式にある。

答

(1) $(1 + x^{2}) y = 1$ の両辺を $n + 1$ 回微分する( $u = 1 + x^{2}$ は3階以上が $0$ なので項は3つだけ残る) (2) $y^{(2 m)} (0) = (- 1)^{m} (2 m)!$ 、 $y^{(2 m + 1)} (0) = 0$

別解

有限の等比の和に剰余をつけて、係数を直接読む(得意な人向け)。 微分を1回もせずに答えの形を出す道もある。

初項 $1$ 、公比 $- x^{2}$ 、項数 $m + 1$ の等比数列の和の公式から、次の恒等式が得られる(これは有限和なので、収束の議論は要らない)。

$\frac{1}{1 + x ^{2}} = 1 - x^{2} + x^{4} - \dots + (- 1)^{m} x^{2 m} + (- 1)^{m + 1} \frac{x ^{2 m + 2}}{1 + x ^{2}}$

両辺を $2 m$ 回微分して $x = 0$ とおく。右辺の最後の項を $R (x) = (- 1)^{m + 1} x^{2 m + 2} g (x)$ ( $g = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ )と書くと、ライプニッツの公式より $R^{(2 m)}$ の各項には $x^{2 m + 2}$ の $2 m$ 回以下の微分が現れる。それらはまだ $x$ の正のべきを含むので、 $x = 0$ ではすべて $0$ になる。つまり剰余項は消える。

残るのは多項式部分だけだ。 $x^{2 k}$ を $2 m$ 回微分して $x = 0$ とすると、 $k = m$ の項だけが生き残って $(2 m)!$ 、他は $0$ 。よって

$y^{(2 m)} (0) = (- 1)^{m} (2 m)!$

同じ議論を $2 m + 1$ 回微分で行えば、生き残る項がなく $0$ である。「微分を繰り返す」代わりに「代数の恒等式を1本立てて、余りが消えることを言う」。これも高階微分の強力な作法だ。

ポイント

分母を払って $(1 + x^{2}) y = 1$ にしてから微分する。
$u = 1 + x^{2}$ は3階以上が $0$ 。ライプニッツの和は3項で終わる。
$x = 0$ で $y^{(n + 1)} (0) = - n (n + 1) y^{(n - 1)} (0)$ 。2つ飛びの漸化式。

よくある間違い

商の微分を繰り返して一般項を出そうとする。分母が $(1 + x^{2})^{n + 1}$ に膨らみ、分子の多項式が制御できなくなって時間を失う。先に分母を払う。
ライプニッツの公式を書いたあと、和を $k = 0$ から $n + 1$ まで全部書き出そうとする。 $u = 1 + x^{2}$ の3階以上が $0$ だから、残るのは3項だけである。
(2)で漸化式が「1つ飛び」だと思い込む。つなぐのは $y^{(n + 1)}$ と $y^{(n - 1)}$ 、つまり2つ飛びである。奇数階と偶数階は完全に別系統で、混ぜてはいけない。