図形と方程式 — 点・直線・円

2点 $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(4,6)$ の間の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-1,2)$、$\mathrm{B}(5,-4)$ について、次の点の座標を求めよ。

(1) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$

(2) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$

(3) 線分 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$

3点 $\mathrm{A}(2,5)$、$\mathrm{B}(-3,1)$、$\mathrm{C}(4,0)$ を頂点とする三角形の重心 $\mathrm{G}$ の座標を求めよ。

(1) 傾きが $2$ で、点 $(1,3)$ を通る直線の方程式を求めよ。

(2) 2点 $(-1,0)$、$(2,6)$ を通る直線の方程式を求めよ。

直線 $y=3x-1$ について、点 $(2,1)$ を通り、次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。

(1) この直線に平行

(2) この直線に垂直

点 $(2,3)$ と直線 $3x-4y+1=0$ の距離を求めよ。

(1) 中心が $(1,-2)$、半径が $3$ の円の方程式を求めよ。

(2) 円 $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ の中心と半径を求めよ。

円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+1$ の共有点の座標を求めよ。

円 $x^2+y^2=25$ 上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求めよ。

円 $x^2+y^2=25$ が直線 $y=4$ から切り取る弦の長さを求めよ。

2直線 $2x+y=5$、$x-y=1$ の交点の座標を求めよ。

点 $\mathrm{A}(3,2)$ について、次の点の座標を求めよ。

(1) $x$ 軸に関して対称な点

(2) 直線 $y=x$ に関して対称な点

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ の3頂点が $\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(4,3)$、$\mathrm{C}(6,7)$ である。頂点 $\mathrm{D}$ の座標を求めよ。

3点 $\mathrm{A}(0,1)$、$\mathrm{B}(2,5)$、$\mathrm{C}(4,3)$ について、次の直線の方程式を求めよ。

(1) 点 $\mathrm{A}$ を通り、直線 $\mathrm{BC}$ に平行な直線

(2) 点 $\mathrm{A}$ を通り、直線 $\mathrm{BC}$ に垂直な直線

3点 $\mathrm{A}(1,5)$、$\mathrm{B}(-2,-1)$、$\mathrm{C}(4,2)$ を頂点とする三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を求めよ。

直線 $x+y-4=0$ に関して、原点 $\mathrm{O}(0,0)$ と対称な点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

3直線 $x+y=3$、$2x-y=0$、$x+ay=5$ が1点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

3点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,2)$ を通る円の方程式を求めよ。

円 $x^2+y^2=5$ と直線 $y=x+k$ が接するとき、定数 $k$ の値を求めよ。

点 $\mathrm{P}(5,0)$ から円 $x^2+y^2=9$ に引いた接線の長さを求めよ。

円 $x^2+y^2=25$ と直線 $y=x+1$ の2つの交点を $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ とする。弦 $\mathrm{AB}$ の中点の座標と、弦 $\mathrm{AB}$ の長さを求めよ。

2つの円 $x^2+y^2=4$ と $(x-5{)}^2+y^2=9$ の位置関係を答えよ。

2つの円 $x^2+y^2=10$ と $x^2+y^2-2x-4y=0$ の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。

$k$ がどんな値をとっても、直線 $(k+1)x+(k-1)y-2k=0$ が必ず通る定点の座標を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(1,3)$、$\mathrm{B}(5,1)$ がある。$x$ 軸上を動く点 $\mathrm{P}$ について、$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$ が最小となる $\mathrm{P}$ の座標と、そのときの最小値を求めよ。

中心が直線 $y=x$ 上にあり、2点 $(0,2)$、$(4,0)$ を通る円の方程式を求めよ。

点 $(4,2)$ から円 $x^2+y^2=4$ に引いた2本の接線の方程式を求めよ。

2つの円 $x^2+y^2=4$ と $(x-1{)}^2+y^2=3$ の交点を通り、原点 $(0,0)$ を通る円の方程式を求めよ。

定点 $\mathrm{P}(2,1)$ を通る直線 $\ell$ について、原点 $\mathrm{O}$ から $\ell$ までの距離の最大値を求めよ。

円 $x^2+y^2=4$ が直線 $y=x+k$ から切り取る弦の長さが $2\sqrt{3}$ であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

3点 $\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(2,4)$ を頂点とする三角形の外心の座標と、外接円の方程式を求めよ。

2つの円 $x^2+y^2=25$ と $(x-8{)}^2+y^2=25$ の共通弦の長さを求めよ。

点 $\mathrm{A}(1,2)$ の、直線 $\ell :y=2x-1$ に関する対称点 ${\mathrm{A}}^{\prime }$ の座標を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(0,1)$、$\mathrm{B}(3,0)$ がある。直線 $y=x$ 上に点 $\mathrm{P}$ をとり、三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積が $5$ になるようにしたい。点 $\mathrm{P}$ の座標をすべて求めよ。

$3$ 直線 $x+y=1$、$2x-y=4$、$ax+y=0$ が三角形を作らないような、定数 $a$ の値をすべて求めよ。

円 $x^2+y^2=5$ の接線のうち、傾きが $2$ であるものの方程式をすべて求めよ。

$2$ つの円 $x^2+y^2=5$ と $x^2+y^2-4x-2y+3=0$ は $2$ 点で交わる。この $2$ つの交点と、原点 $(0,0)$ を通る円の方程式を求めよ。

円 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=10$ の弦のうち、その中点が $\mathrm{M}(2,1)$ であるものについて、その弦をふくむ直線の方程式を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。直線 $(2k+1)x+(k-1)y-(k+2)=0$ は、$k$ の値によらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。

円 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$ 上の点 $\mathrm{P}$ と、直線 $3x+4y=0$ との距離の最大値と最小値を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(0,0),\mathrm{B}(6,0)$ からの距離の比が $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$t$ が実数全体を動くとき、直線 $y=2tx-t^2$ が通過する点 $(x,y)$ の存在する領域を求め、図示せよ。

点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2=5$ 上を動くとき、$2x+y$ の最大値を求めよ。

点 $\mathrm{P}$ が円 $x^2+y^2=4$ 上を動くとき、定点 $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{P}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を求めよ。

$2$ 円 $x^2+y^2=4$ と $(x-3{)}^2+y^2=4$ は $2$ 点で交わる。その $2$ つの交点を通る直線の方程式を求めよ。

$m$ が実数全体を動くとき、点 $\mathrm{A}(3,4)$ から直線 $\ell :y=mx$ までの距離の最大値を求めよ。

$2$ 定点 $\mathrm{A}(-2,0),\mathrm{B}(2,0)$ に対し、$\angle \mathrm{APB}=90^{\circ }$ となる点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

連立不等式 $|x|+|y|\le 2$ かつ $x^2+y^2\ge 1$ の表す領域の面積を求めよ。

実数 $a$ が全ての値をとって変化するとき、直線 $y=ax-a^2+1$ が通過する領域を図示せよ。

実数 $t$ に対し2直線 $\ell :tx-y=0$、$m:x+ty=t+2$ を考える。$t$ が全ての実数を動くとき、$\ell$ と $m$ の交点 P の軌跡を求めよ。

点 $(x,y)$ が円 $x^2+y^2=1$ 上を動くとき、$\frac{y+2}{x+2}$ の最大値と最小値を求めよ。

$y$ 軸に接し、点 $\mathrm{A}(4,0)$ を中心とする半径 $1$ の円に外接する円を考える。この動円の中心 P の軌跡を求めよ。ただし P の $x$ 座標は正とする。

定点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通る直線が円 $x^2+y^2=4$ と相異なる2点で交わるとき、その2交点を結ぶ弦の中点 M の軌跡を求めよ。

連立不等式 $|x|+|y|\le 2$ かつ $x^2+y^2\ge 1$ の表す領域の面積を求めよ。

2つの円 $x^2+y^2=1$ と $(x-a{)}^2+y^2=4$ が接するような実数 $a$ の値をすべて求めよ。

実数 $s,t$ が $s^2+t^2=1$ を満たしながら変化するとき、点 $(s+t,st)$ の存在範囲を求め、図示せよ。