平行四辺形の頂点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行四辺形の座標の問題で頼れる性質は、「2本の対角線がおたがいを2等分する」だ。

$\mathrm{ABCD}$ の対角線は $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$(向かい合う頂点どうし)。この2本の中点が一致する。

$\mathrm{AC}$ の中点は具体的に計算できるから、それが $\mathrm{BD}$ の中点でもある、という等式から $\mathrm{D}$ が逆算できる。

$\mathrm{ABCD}$ の対角線は $\mathrm{AC}$ と $\mathrm{BD}$。まず $\mathrm{AC}$ の中点を出す。

$$\left(\frac{1+6}{2},\frac{2+7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2},\frac{9}{2}\right)$$

これが $\mathrm{BD}$ の中点でもある。$\mathrm{D}(x,y)$ とおくと

$$\frac{4+x}{2}=\frac{7}{2},\frac{3+y}{2}=\frac{9}{2}$$

それぞれ解いて $x=3$、$y=6$。よって $\mathrm{D}(3,6)$。

発展 — 一歩先へ。 「3頂点から残り1頂点」の答えは、実は3通りある(どの2点を対角線の相手にするかで変わる)。今回は $\mathrm{ABCD}$ という順序の指定が、その1つを選ばせている。指定がない出題では3つすべて答える型になる。

中点一致・矢印のつぎ足し、どちらの方法も、数学Cでは位置ベクトルの等式 $\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ という1本の式に統合される。

別解

「同じ矢印をつぎ足す」平行移動の見方だと、足し算1回で終わる。

平行四辺形 $\mathrm{ABCD}$ では、辺 $\mathrm{AD}$ と辺 $\mathrm{BC}$ が平行で長さも等しい。つまり $\mathrm{B}$ から $\mathrm{C}$ への移動(右へ $2$、上へ $4$)と、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{D}$ への移動は同じ矢印だ。

$$\mathrm{D}=\mathrm{A}+(\mathrm{C}-\mathrm{B})=(1+2,2+4)=(3,6)$$

中点の等式ルートと同じ答えになる。

この「点の差=移動の矢印」という見方は、数学Cのベクトルの先取りそのものだ。頂点の順序($\mathrm{ABCD}$ の並び)から、どの辺とどの辺が対応するかを図で確かめてから矢印を作るのがこつである。