接線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線の長さは、直角三角形を1つ見つければ終わる。

中心 $\mathrm{O}$・接点 $\mathrm{T}$・外の点 $\mathrm{P}$。接線は接点で半径と垂直だから、$△\mathrm{OTP}$ は $\mathrm{T}$ が直角の直角三角形だ。

斜辺 $\mathrm{OP}=5$、1辺 $\mathrm{OT}=3$(半径)。三平方の定理で $\mathrm{PT}=\sqrt{25-9}=4$。「接線と聞いたら半径との直角を書き込む」が反射になっていれば、図は自動的に完成する。

中心 $\mathrm{O}(0,0)$ から $\mathrm{P}(5,0)$ までの距離は $\mathrm{OP}=5$。半径は $r=3$。

接点 $\mathrm{T}$ で接線と半径が直角に交わるので、$△\mathrm{OTP}$ は直角三角形。三平方の定理で

$$\mathrm{PT}=\sqrt{{\mathrm{OP}}^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$$

発展 — 一歩先へ。 「点の座標を円の式の左辺に代入した値」は、正なら円の外(値=接線の長さの2乗)、$0$ なら円周上、負なら内部、と点の位置まで教えてくれる。この値が数学Aの方べきの正体だ。

2つの円について「接線の長さが等しい点」の集まりを追うと、根軸と呼ばれる直線が現れる。次の共通弦の問題の引き算は、実はこの根軸の計算をしている。

別解

数学Aで学んだ方べきの定理で確かめる道もある。

$\mathrm{P}(5,0)$ から $x$ 軸に沿って割線を引くと、円 $x^2+y^2=9$ とは $(3,0)$ と $(-3,0)$ で交わる。

方べきの定理(接線と割線)から

$${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=(5-3)(5+3)=2\times 8=16$$

よって $\mathrm{PT}=4$。三平方ルートと一致する。

実は、方べきの値 $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ はどの割線でも一定で、その正体こそ ${\mathrm{OP}}^2-r^2$(三平方の右辺)だ。座標の言葉なら「$\mathrm{P}$ の座標を円の式の左辺 $x^2+y^2-9$ に代入した値」がそのまま ${\mathrm{PT}}^2=25-9=16$ になる。3つの見方が同じ数を指している。