弦の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の長さは、直接求めるのがいちばん速い。

直線 $y=4$ と円 $x^2+y^2=25$ の交点を出す。 $y=4$ を円の式に代入するだけだ。

$$x^2+16=25⟹x^2=9⟹x=\pm 3$$

交点は $(-3,4)$ と $(3,4)$。

弦の長さは、この $2$ 点の距離。 同じ高さ($y=4$)にあるので、$x$ 座標の差がそのまま長さになる。

$$3-(-3)=6$$

$x=\pm 3$ から、いきなり「弦 $=3$」としない。 左右に $3$ ずつあるので、全体は $6$ である。

$(-3,4)$、$(3,4)$、そして中心 $(0,0)$ — この $3$ 点で二等辺三角形ができている。図を描けば、$6$ という答えが目で見える。

半径 $r=5$。中心 $\mathrm{O}(0,0)$ から直線 $y=4$ までの距離は $d=4$。

中心・弦の端・弦の中点で直角三角形ができ、弦の半分は $\sqrt{r^2-d^2}$。

$$\text{弦}=2\sqrt{5^2-4^2}=2\sqrt{25-16}=2\sqrt{9}=2\times 3=6$$

発展 — 一歩先へ。 弦の公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$ から、弦の長さと中心からの距離は、たがいに逆向きに動くと分かる。

$d$ が大きくなる(直線が中心から離れる)ほど、弦は短くなる。中心を通るとき最長($=$ 直径)、接するとき最短($=0$)。

この単調性が、最大最小問題に使える。

「点 $\mathrm{P}(1,2)$ を通る直線が、円 $x^2+y^2=25$ から切り取る弦の長さの最小値は?」

弦が最短 $=$ 中心からの距離 $d$ が最大。 そして、点 $\mathrm{P}$ を通る直線のうち、中心から最も遠いのは — $\mathrm{OP}$ に垂直な直線である(それ以外の直線は、中心にもっと近づいてしまう)。

$$d_{\max }=\mathrm{OP}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$$

$$(\text{最短の弦})=2\sqrt{25-5}=2\sqrt{20}=4\sqrt{5}$$

幾何的な洞察($\mathrm{OP}$ に垂直なとき最遠)$+$ 公式 で、微分もせずに最小値が出た。

逆に、弦が最長になるのは $d=0$、つまり直線が中心を通るとき。 そのとき弦は直径 $10$ である。

「最大・最小」の問題は、必ずしも微分で解くものではない。 図形の性質を見抜けば、計算せずに答えが分かることがある。

"どこで極端になるか"を、図で考える習慣。 数式に飛びつく前に、$1$ 度、図を眺めてみる価値がある。

別解

交点を求めずに、三平方の定理だけで弦の長さが出る。 この方法は、直線が斜めのときに真価を発揮する。

発想: 「中心・弦の中点・弦の端」で直角三角形を作る。

中心から弦に垂線を下ろすと、その足は弦の中点になる(二等辺三角形だから)。

• 斜辺: 中心から弦の端までの距離 $=$ 半径 $r=5$
• $1$ 辺: 中心から直線までの距離 $=$ $d=4$($y=4$ までの距離)
• もう $1$ 辺: 弦の半分

三平方の定理を使う。

$${\left(\frac{\text{弦}}{2}\right)}^2+d^2=r^2$$

$${\left(\frac{\text{弦}}{2}\right)}^2=25-16=9⟹\frac{\text{弦}}{2}=3$$

$$\text{弦}=2\times 3=6✓$$

公式の形にすると

$$\boxed{(\text{弦の長さ})=2\sqrt{r^2-d^2}}$$

この公式が、なぜ強力なのか。 直線が斜めのときを考えてみよう。

例: 円 $x^2+y^2=25$ が直線 $3x+4y=5$ から切り取る弦の長さは?

交点を求めるルートでは、代入して $2$ 次方程式を解き、$2$ つの交点の座標を出し、距離の公式で計算する — かなりの手間だ。

公式ルートなら $3$ 行。

$$d=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}=1$$

$$\text{弦}=2\sqrt{25-1}=2\sqrt{24}=4\sqrt{6}$$

交点の座標を $1$ 度も計算していない。

この公式は、$3$ つの量($r$、$d$、弦)を結びつけている。 どれか $2$ つが分かれば、残りが出る。

• 弦の長さから、中心までの距離を逆算できる
• 「弦の長さが $8$ になるような直線」を探す問題も、$d$ の条件に翻訳できる

そして、極端な場合を確認しておこう。

• $d=0$(直線が中心を通る)→ 弦 $=2\sqrt{r^2}=2r$ — 直径になる ✓(最長の弦)
• $d=r$(接する)→ 弦 $=0$ — 接点 $1$ 点に潰れる ✓
• $d>r$ → 根号の中が負 — 弦は存在しない(直線が円と交わらない)✓

$1$ つの公式が、$3$ つの位置関係をすべて説明する。 「距離と半径を比べる」という前問の視点が、ここでも生きている。