点と動直線の距離の最大

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線 $\ell$ はつねに $P$ を通り、向きだけが変わる。原点 $O$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、距離は $OH$ だ。

$\angle OHP=90^{\circ }$ だから、$OH$ は直角三角形 $OHP$ の斜辺 $OP$ より短い。つまり距離は $OP$ を超えない。

等しくなるのは $H$ が $P$ に重なるとき、すなわち $\ell$ が $OP$ に垂直なときだ。動く距離を固定線分 $OP$ で上から抑える、これが発想だ。

直線 $\ell$ はつねに $\mathrm{P}$ を通る。原点 $\mathrm{O}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、距離は $\mathrm{OH}$。

直角三角形 $\mathrm{OHP}$($\angle \mathrm{H}=90^{\circ }$)で $\mathrm{OH}$ は斜辺 $\mathrm{OP}$ より短い。等しくなるのは $\mathrm{H}$ が $\mathrm{P}$ に重なるとき、つまり $\ell \perp \mathrm{OP}$ のとき。

よって最大値は $\mathrm{OP}$ の長さ。

$$\mathrm{OP}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$$

発展 — 一歩先へ。 $\ell$ が $P$ のまわりで回るとき、垂線の足 $H$ はどこを動くか。つねに $\angle OHP=90^{\circ }$ だから、$H$ は $OP$ を直径とする円の上を動く(直径に立つ角は直角、というタレスの定理)。

この円の直径は $OP=\sqrt{5}$。だから $OH$ は $0$ から $OP$ まで、すべての値をとる。$\ell$ が原点を通るときは $H=O$ で距離 $0$、$\ell$ が $OP$ に垂直なときは $H=P$ で距離 $OP$ が最大だ。

最大だけでなく最小 $0$ まで、$1$ 枚の円ですべて読める。「定点を通る直線と別の $1$ 点の距離は、$0$ 以上その $2$ 点間の距離以下」という一般の事実の、これは具体例だ。

別解

別解 — 距離を式にして最大を判別式で出す(得意な人向けの解析ルート)。 $P(2,1)$ を通る直線を $y-1=m(x-2)$、すなわち $mx-y+(1-2m)=0$ とおく。原点からの距離は

$$d=\frac{|1-2m|}{\sqrt{m^2+1}}.$$

$d^2=k$ とおくと $(1-2m{)}^2=k(m^2+1)$、整理して $(4-k)m^2-4m+(1-k)=0$。この $m$ の $2$ 次方程式が実数解をもつ条件は、判別式が $0$ 以上:

$$16-4(4-k)(1-k)\ge 0⟹4k(5-k)\ge 0⟹0\le k\le 5.$$

だから $d^2$ の最大は $5$、距離の最大は $\sqrt{5}$。このとき $(4-5)m^2-4m-4=0$ すなわち $(m+2{)}^2=0$、$m=-2$ で、$\ell$ は $OP$ に垂直だ($OP$ の傾き $\frac{1}{2}$ との積が $-1$)。縦の直線 $x=2$ は距離 $2<\sqrt{5}$ なので最大ではない。

幾何で $OP$ を上限とする本解と同じ最大値 $\sqrt{5}$。距離の $2$ 乗が動ける範囲を判別式で押さえる見方だ。