2円の交点を通る直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点を求めてから直線を出す、が素朴な道。でも交点の座標は要らない。

2つの円の式を引き算すると、$x^2$ と $y^2$ の項が消えて1次式(直線の式)が残る。

交点は両方の円の式を満たすから、その差も満たす。差は1次式、つまり直線。2交点を通る直線は1本しかないから、これが答えだ。「引き算=共通弦」という強力なショートカットである。

① なぜ引き算で交点を通る直線が出るのか。 2つの交点はどちらの円の上にもあるので、2つの円の式を両方とも満たす(両方 $=0$)。すると、2式を辺々引いた式も交点では $0$ になる。しかも引くと $x^2$・$y^2$ が消えて $1$ 次式＝直線になる。だから「差の式」は2つの交点を通る直線そのものだ。

② 実際に引く。

$$(x^2+y^2-10)-(x^2+y^2-2x-4y)=0$$

$x^2$、$y^2$ が消えて

$$-10+2x+4y=0\Rightarrow 2x+4y=10\Rightarrow x+2y=5$$

まとめ:2交点は両方の円の上にあるから両式を満たし、その差の式(＝2乗が消えた直線)も交点で成り立つ。だから2円の引き算がそのまま「2交点を通る直線」になる。

発展 — 一歩先へ。 引き算で出る直線は、交わらない2円でも意味を持つ。「2円への接線の長さが等しい点の集まり」(根軸)である。交わる場合に限って、それが共通弦を含む直線と一致する。

さらに、2円の式を $\lambda ,\mu$ で混ぜた $\lambda f+\mu g=0$ は「2交点を通る円の族」を作る(引き算はその特別な場合)。3直線の共点問題で使った束の考えが、円の世界でも同じ形で働いている。

別解

ショートカットの答えを、正面ルート(交点を実際に求める)で検分してみる。

引き算で得た $x=5-2y$ を第1式に代入すると

$$(5-2y{)}^2+y^2=10⟹5y^2-20y+15=0⟹y=1,3$$

交点は $(3,1)$ と $(-1,3)$。この2点を通る直線は、傾き $\frac{3-1}{-1-3}=-\frac{1}{2}$ で

$$y-1=-\frac{1}{2}(x-3)⟹x+2y=5$$

引き算の結果と一致した。

正面ルートは重いが、「引き算の式が本当に2交点を通っている」ことを実物で確認できる。ショートカットを初めて使うときに一度この照合をやっておくと、以後は安心して1行で済ませられる。