動く直線が通過する領域(パラメータと判別式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$t$ を動かしたとき直線が通る点の全体」を聞かれている。発想の転換はここだ。点 $(x,y)$ を固定して、「この点を通る $t$ があるか?」と問い直す。

式 $y=2tx-t^2$ を $t$ について整理すると $t^2-2xt+y=0$。これは $t$ の2次方程式だ。

点 $(x,y)$ が通過される $⟺$ この方程式が実数解 $t$ をもつ $⟺$ 判別式 $\ge 0$。存在条件が判別式に化ける。

① $t$ の方程式にする。 $y=2tx-t^2$ を $t$ について整理すると $$t^2-2xt+y=0.$$ ② 実数解の条件(判別式)。 この $t$ の $2$ 次方程式が実数解をもつ条件は $$\frac{D}{4}=x^2-y\ge 0⟺y\le x^2.$$

③ 領域。 よって通過する領域は放物線 $y=x^2$ の下側(境界を含む)$y\le x^2$。

まとめ 「通過領域」は「パラメータ $t$ の存在条件」。$t$ の $2$ 次方程式とみて判別式 $\ge 0$ を解くと $y\le x^2$。直線 $y=2tx-t^2$ は放物線 $y=x^2$ の接線の全体で、その包絡線が放物線。図形と方程式(領域)・判別式の融合。

発展 — 一歩先へ。 境界 $y=x^2$ は、直線族のどの1本とも接している曲線=包絡線とよばれる。ヘッドライトの光が壁に作る明るい縁、定規を少しずつずらして描く模様 — 直線の族が曲線を浮かび上がらせる現象は身近にもある。通過領域の境界に接線族の包絡線が現れるのは偶然ではない。

別解

別解 — 正体は「放物線 $y=x^2$ の接線族」(得意な人向けの高い視点)。 放物線 $y=x^2$ の $x=t$ での接線を書いてみる。傾き $2t$、接点 $(t,t^2)$ だから

$$y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2.$$

与えられた直線族そのものだ。つまり本問は「$y=x^2$ のすべての接線が掃く領域」を聞いている。

差を計算すると $x^2-(2tx-t^2)=(x-t{)}^2\ge 0$。どの接線も放物線の下側にあり、接点でだけ触れる。

だから接線たちが塗りつぶすのは、放物線の下側 $y\le x^2$ の全体(各点はその真上の放物線の接線のどれかが通る)。判別式(本解)が出した答えの、図形的な種明かしである。