対称点を使う最短経路

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 折れ線 $AP+PB$ の最小は、まっすぐに伸ばすのがコツだ。曲がったままでは最短が見えない。

$A$ を $x$ 軸で折り返した点 $A^{\prime }$ を作る。すると $AP=A^{\prime }P$ になる。だから $AP+PB=A^{\prime }P+PB$ だ。

$A^{\prime }P+PB$ が最小なのは、$A^{\prime }$ と $B$ を結ぶ直線が最短のとき。対称移動で折れ線を直線に化けさせる、これが最短経路問題の核心の発想だ。

$\mathrm{A}(1,3)$ を $x$ 軸に関して折り返すと ${\mathrm{A}}^{\prime }(1,-3)$。$\mathrm{P}$ は $x$ 軸上なので $\mathrm{AP}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}$。したがって

$$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}={\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{P}+\mathrm{PB}$$

これが最小になるのは、${\mathrm{A}}^{\prime }$、$\mathrm{P}$、$\mathrm{B}$ が一直線に並ぶとき。直線 ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$ を求める。傾きは $\frac{1-(-3)}{5-1}=1$、${\mathrm{A}}^{\prime }(1,-3)$ を通るので $y=x-4$。

$x$ 軸($y=0$)との交点は $0=x-4$、$x=4$。よって $\mathrm{P}(4,0)$。

最小値は ${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}$ の長さ。

$${\mathrm{A}}^{\prime }\mathrm{B}=\sqrt{(5-1{)}^2+(1+3{)}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$

発展 — 一歩先へ。 $2$ 定点 $A$、$B$ からの距離の和 $AP+PB$ が一定である点 $P$ の集まりは、$A$、$B$ を焦点とする楕円になる。

$AP+PB$ を小さくするとは、この楕円をだんだん縮めることだ。$x$ 軸に初めて触れる瞬間の楕円が、$x$ 軸に接する。その接点がいまの $P(4,0)$ だ。

楕円の接線は、$2$ 焦点への線と等しい角をなす。だから接点 $P$ では入射角と反射角が等しい。折り返しで等角になるのと同じことを、楕円の側から見ている。

別解

別解 — Pを座標で動かして微分で最小を出す(得意な人向けの解析ルート)。 対称点を使わず、$\mathrm{P}(t,0)$ とおいて $AP+PB$ を $t$ の関数として直接最小化する。

$$f(t)=\sqrt{(t-1{)}^2+3^2}+\sqrt{(t-5{)}^2+1^2}.$$

微分して $f^{\prime }(t)=0$ とする。

$$f^{\prime }(t)=\frac{t-1}{\sqrt{(t-1{)}^2+9}}+\frac{t-5}{\sqrt{(t-5{)}^2+1}}=0.$$

移項して両辺を $2$ 乗すると $(t-1{)}^2\{(t-5{)}^2+1\}=(t-5{)}^2\{(t-1{)}^2+9\}$。展開して整理すると $(t-1{)}^2=9(t-5{)}^2$、すなわち $|t-1|=3|t-5|$。

$t-1=-3(t-5)$ を解くと $t=4$(もう一方の $t=7$ は $f^{\prime }$ の $2$ 項が同符号で $0$ にならず不適)。よって $\mathrm{P}(4,0)$、最小値は $f(4)=\sqrt{18}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。

対称点で幾何的に一直線にする本解と、距離の和を関数とみて谷を微分で探す別解。同じ $\mathrm{P}(4,0)$、最小値 $4\sqrt{2}$ に到達する。