定点を通る弦の中点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の中点 M には、覚えておくべき強い性質がある。円の中心 O から弦の中点へ引いた線分は、その弦と垂直になる(中心と弦の両端が作る二等辺三角形の、頂点からの中線だから)。

本問の弦はどれも定点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通る。だから M では、$\mathrm{OM}$ と $\mathrm{MA}$ が垂直。つまり M は、2定点 O・A を直角に見込む点だ。

直角に見込む点の集まりは、OA を直径とする円。座標計算に入る前に答えの形が見えている。最後に「弦が本当に存在する範囲」だけを確かめればよい。

① 垂直条件。 中心 $\mathrm{O}(0,0)$ から弦の中点 M に引いた $\mathrm{OM}$ は弦に垂直。弦は A を通るから、M では $\mathrm{OM}\perp \mathrm{MA}$。

② タレスの円。 $\angle \mathrm{OMA}=90^{\circ }$ だから、M は線分 OA を直径とする円周上。中心は OA の中点 $\left(\frac{3}{2},0\right)$、半径は $\frac{\mathrm{OA}}{2}=\frac{3}{2}$:

$${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}$$

③ 範囲。 弦が「相異なる2点」で交わるのは M がもとの円 $x^2+y^2=4$ の内部にあるとき。よって軌跡は上の円のうち、もとの円の内部にある部分(弧)。

まとめ:「中心→弦の中点は弦に垂直」を使い、定点 A と中心 O を直角に見込む=タレスの円、と読むのが急所。$x,y$ を直接消去する計算より、垂直という図形的性質から一気に円が出る。定義域(2交点をもつ範囲)を最後に添えるのを忘れない。

発展 — 一歩先へ。 定点 A が円の内部にあれば、どの向きの弦も実在するので、軌跡は OA を直径とする円の全周になる。A が外部なら本問のように弧だけ。定点の内外で答えの形が変わる。軌跡の問題は「式」と同じくらい「範囲」が本体だ。

別解

解と係数の関係で中点を計算する(手を動かすルート)。 垂直の性質を思い出せなくても、弦を式で置けば必ず出る。

A を通る傾き $m$ の直線 $y=m(x-3)$ を円 $x^2+y^2=4$ に代入すると

$$(1+m^2)x^2-6m^{2}x+9m^2-4=0$$

2交点の $x$ 座標の和は、解と係数の関係で $x_1+x_2=\frac{6m^2}{1+m^2}$。だから中点 M は

$$x=\frac{3m^2}{1+m^2},y=m(x-3)=\frac{-3m}{1+m^2}$$

ここで $x^2+y^2=\frac{9m^4+9m^2}{(1+m^2{)}^2}=\frac{9m^2}{1+m^2}=3x$ が成り立つ。つまり $x^2+y^2-3x=0$、平方完成して本解と同じ円だ。

2点で交わる条件は判別式 $>0$、整理すると $m^2<\frac{4}{5}$。ちょうどこの範囲の $m$ が、円のうち「もとの円の内部」の弧を塗る。なお A は円の外なので、垂直な直線 $x=3$ は円と交わらず、傾きの場合分けは不要。

幾何(本解)は一瞬で正体を見抜き、計算(本ルート)は範囲の出どころ($m^2<\frac{4}{5}$)まで具体的に見せてくれる。