2つの不等式が表す領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2つの領域の共通部分の面積は、「大きい方から余計な部分を引く」のが基本方針だ。

$|x|+|y|\le 2$ は、頂点 $(\pm 2,0),(0,\pm 2)$ の正方形(対角線 $4$)。$x^2+y^2\ge 1$ は単位円の外側である。

引き算が成立するには、単位円がこの正方形にすっぽり入っている必要がある。原点から辺までの距離を確かめてから、正方形の面積 $-$ 円の面積、と進める。

① ひし形の面積。 $|x|+|y|\le 2$ は $4$ 頂点 $(\pm 2,0),(0,\pm 2)$ を結ぶ正方形(対角線 $4$)。面積は $$\frac{1}{2}\times (\text{対角線})\times (\text{対角線})=\frac{1}{2}\times 4\times 4=8.$$ ② 単位円が内部にあるか。 原点からひし形の辺 $x+y=2$(第1象限)までの距離は $\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。これは単位円の半径 $1$ より大きいので、単位円はひし形の内部に完全に含まれる。

③ 引く。 くり抜く単位円の面積は $\pi \cdot 1^2=\pi$。よって領域の面積は $$8-\pi .$$

まとめ $|x|+|y|\le 2$ は面積 $8$ の正方形、そこから内部に収まる単位円(面積 $\pi$)をくり抜くので $8-\pi$。円が正方形に含まれる($\sqrt{2}>1$)確認が要。図形と方程式(領域)・面積の融合。

発展 — 一歩先へ。 $|x|+|y|\le c$ は「マンハッタン距離(縦横しか動けない街の距離)で原点から $c$ 以内」の“円”である。その面積は $2c^2$。ユークリッド距離の円 $\pi r^2$ と比べると、距離の測り方を変えれば円の形も円周率も変わる、という発見につながる。

別解

別解 — 第1象限だけ計算して4倍する(苦手な人向け)。 領域は $x$ 軸にも $y$ 軸にも対称。だから第1象限($x\ge 0,y\ge 0$)だけ調べて4倍すればよい。

第1象限では $|x|+|y|\le 2$ は $x+y\le 2$、つまり3点 $(0,0),(2,0),(0,2)$ の直角三角形で、面積は $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2$。

そこから単位円の内部(第1象限では四分円、面積 $\frac{\pi }{4}$)を除く。

$$4\left(2-\frac{\pi }{4}\right)=8-\pi .$$

全体をいきなり考えるより、対称性で「1枚の三角形から扇形を抜く」絵に落とすほうが、図も式も小さくて済む。