内分点・外分点・中点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内分点の公式は、たすきに掛ける — ここがポイントだ。

$$\mathrm{AB}\text{を}m:n\text{に内分する点}=\left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)$$

$\mathrm{A}$ には $n$(遠いほうの比)、$\mathrm{B}$ には $m$(近いほうの比)が掛かる — ここが逆になりやすい。

覚え方。「$\mathrm{B}$ 側の比 $m$ が $\mathrm{B}$ の座標に掛かる」と丸暗記せず、$\mathrm{B}$ に近い点ほど $\mathrm{B}$ の重みが大きいと考える。$2:1$ の内分点は $\mathrm{B}$ 寄りだから、$\mathrm{B}$ の重みが $2$ で大きい。

(1) 中点は $1:1$ の内分だから、ただの平均。

(3) 外分は、比の一方を負にした内分と考えると、公式が $1$ 本で済む(別解で詳しく)。

(1) 中点は $1:1$ の内分なので、単純に平均。

$$\mathrm{M}\left(\frac{-1+5}{2},\frac{2+(-4)}{2}\right)=(2,-1)$$

(2) $2:1$ の内分。公式に $m=2$、$n=1$ を入れる。

$$\mathrm{P}\left(\frac{1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2+1},\frac{1\cdot 2+2\cdot (-4)}{2+1}\right)=\left(\frac{9}{3},\frac{-6}{3}\right)=(3,-2)$$

(3) $2:1$ の外分。$n$ を $-1$ にして同じ公式。

$$\mathrm{Q}\left(\frac{-1\cdot (-1)+2\cdot 5}{2-1},\frac{-1\cdot 2+2\cdot (-4)}{2-1}\right)=\left(\frac{11}{1},\frac{-10}{1}\right)=(11,-10)$$

発展 — 一歩先へ。 内分点の公式は、ベクトルで書くと $1$ 行になる。

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{n\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{m+n}$$

$x$ 座標と $y$ 座標を別々に書く必要がない。 ベクトルは「$2$ つの座標をまとめて扱う」ための記法だから、公式が半分の長さになる。

そして、この形は「重みつき平均」そのものだ。

$$\mathrm{P}=\frac{n}{m+n}\mathrm{A}+\frac{m}{m+n}\mathrm{B}$$

$2$ つの係数を足すと $1$($\frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1$)。これが「線分 $\mathrm{AB}$ 上の点」であることの、代数的な特徴づけだ。

$$\mathrm{P}=s\mathrm{A}+t\mathrm{B}(s+t=1,s\geqq 0,t\geqq 0)$$

係数の和が $1$ で、両方 $0$ 以上 → 線分 $\mathrm{AB}$ 上。 係数の和が $1$ で、片方が負 → 直線 $\mathrm{AB}$ 上だが、線分の外(外分点)。

「係数の和が $1$」が、直線を特徴づける。 この見方は、数Cのベクトルで「点が直線上にある条件」として再登場し、さらに「点が平面上にある条件」($s+t+u=1$)へと拡張される。

外分点が「負の係数」で表されることも、この枠組みなら自然だ。$\mathrm{Q}(11,-10)$ は

$$\mathrm{Q}=-1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}(-1+2=1✓)$$

係数の和は $1$ のまま、片方が負になっただけ。 内分と外分は、$1$ つの式の中で連続的につながっている。

別解

外分の公式を、内分と別に覚える必要はない。 「外分 $=$ 比を負にした内分」という統一の見方を身につけよう。そして、比の向きを間違えないてこの見方も紹介する。

統一の視点: 外分は「負の比の内分」。

内分点の公式は

$$\left(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n},\frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n}\right)$$

$2:1$ の外分は、$2:(-1)$ の内分として計算する。$n=-1$ を代入するだけだ。

$$x=\frac{(-1)(-1)+2\cdot 5}{2+(-1)}=\frac{1+10}{1}=11$$

$$y=\frac{(-1)(2)+2\cdot (-4)}{2-1}=\frac{-2-8}{1}=-10$$

$$\mathrm{Q}(11,-10)✓$$

公式が $1$ 本になった。 外分点の公式($\frac{-n{x}_1+m{x}_2}{m-n}$)を別に覚える必要はない — 内分の公式で、$n$ を $-n$ にするだけである。

なぜ「負の比」でよいのか。 外分点とは「線分の外側にある点で、$\mathrm{A}$ からの距離と $\mathrm{B}$ からの距離の比が $2:1$ になる点」だ。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の外側にあるので、$\mathrm{Q}$ から見ると $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ は同じ側にある — 向きが揃っている。この「向きの反転」が、負の符号として現れるのだ。

てこの見方(比の向きを間違えないために)。

内分点を、シーソーのつり合う点だと思う。

$$\mathrm{A}\bullet -------\stackrel{\mathrm{P}}{△}---\bullet \mathrm{B}$$

$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:1$ なら、$\mathrm{A}$ 側の腕が長く、$\mathrm{B}$ 側の腕が短い。

てこの原理: 腕が短い側に、重い重りを置く。 だから

$$(\mathrm{A}\text{の重み}):(\mathrm{B}\text{の重み})=1:2$$

重みつき平均をとると

$$\mathrm{P}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{B}}{1+2}=\frac{1\cdot (-1,2)+2\cdot (5,-4)}{3}=\frac{(-1+10,2-8)}{3}=(3,-2)✓$$

「$\mathrm{B}$ に近い点だから、$\mathrm{B}$ の重みが大きい」 — 直感と一致する。公式の $m$ と $n$ がどちらに掛かるか、二度と迷わない。

検算も忘れずに。

$$\mathrm{AP}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2},\mathrm{PB}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$

$$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=4\sqrt{2}:2\sqrt{2}=2:1✓$$

外分点 $\mathrm{Q}$ でも確かめる。

$$\mathrm{AQ}=\sqrt{12^2+12^2}=12\sqrt{2},\mathrm{QB}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$

$$\mathrm{AQ}:\mathrm{QB}=2:1✓$$

比はちゃんと $2:1$。ただし $\mathrm{Q}$ は線分の外側にいる — これが「外分」の意味である。