平行・垂直な直線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 傾きだけが問題だ。通る点はどちらも $(2,1)$ で共通なので、傾きさえ決まれば $y-1=m(x-2)$ に入れて終わる。

(1) 平行 → 傾きが同じ。

$$m=3$$

$$y-1=3(x-2)⟹y=3x-5$$

(2) 垂直 → 傾きの積が $-1$。

$$3\times m=-1⟹m=-\frac{1}{3}$$

$$y-1=-\frac{1}{3}(x-2)⟹y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

垂直の傾きは「逆数にして、符号を変える」。 $3\to \frac{1}{3}\to -\frac{1}{3}$ の $2$ 段階だ。符号を変えるのを忘れるのが最頻ミスである。

もとの直線の傾きは $3$。

(1) 平行 は傾きも $3$。点 $(2,1)$ を通るので

$$y-1=3(x-2)\Rightarrow y=3x-5$$

(2) 垂直 は傾きの積が $-1$。$3\times m=-1$ より $m=-\frac{1}{3}$。点 $(2,1)$ を通るので

$$y-1=-\frac{1}{3}(x-2)\Rightarrow y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}+1=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}$$

発展 — 一歩先へ。 「傾きの積が $-1$」という公式には、使えない場合がある。

$x$ 軸に平行な直線($y=5$、傾き $0$)と、$y$ 軸に平行な直線($x=3$、傾きなし)。

この $2$ 本は明らかに垂直だが、

$$0\times (\text{傾きなし})=-1?$$

計算できない。 傾き $0$ の直線に垂直な直線は「傾きが定義されない」($y$ 軸に平行)ので、公式が破綻する。

これが $y=mx+k$ という表し方の弱点だ。 「傾き」という概念が、縦の直線を扱えない。

一般形なら、この問題は起きない。

$$ax+by+c=0\text{と}{a}^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0\text{が垂直}⟺a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$$

$y=5$($0x+1y-5=0$)と $x=3$($1x+0y-3=0$)なら

$$0\times 1+1\times 0=0✓$$

ちゃんと「垂直」と判定される。 例外がない。

この $a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }=0$ という式は、実は「法線ベクトルの内積 $=0$」である。 直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトル(直線に垂直な方向)は $(a,b)$ — 係数がそのまま法線の向きを表しているのだ。

$2$ 直線が垂直 $⟺$ 法線どうしも垂直 $⟺$ 内積が $0$。

「傾き」は便利だが、万能ではない。 縦の直線という特異点を持つ。一方、一般形と法線ベクトルは、すべての直線を平等に扱える。

表現の選び方が、扱える範囲を決める。 数学では「どう書くか」が「何ができるか」を左右する — 記法は、思考の道具なのだ。

別解

「なぜ垂直だと傾きの積が $-1$ なのか」 — 理由を知ると、公式が忘れられなくなる。そして、一般形での平行・垂直の作り方という実戦的な技も手に入る。

理由: 回転で考える。

傾き $3$ の直線は、右へ $1$ 進むと上へ $3$ 進む。方向を表す矢印は $(1,3)$ だ。

この矢印を $90^{\circ }$ 回転させると、垂直な方向になる。

平面で $(a,b)$ を $90^{\circ }$ 回転すると $(-b,a)$ になる(反時計回り)。

$$(1,3)\stackrel{90^{\circ }\text{回転}}{\to }(-3,1)$$

回転後の矢印は $(-3,1)$。 その傾きは

$$\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$$

垂直な直線の傾きが出た ✓。

「逆数にして符号を変える」の正体は、$90^{\circ }$ 回転だったのだ。$(1,m)$ を回すと $(-m,1)$ になり、傾きは $\frac{1}{-m}=-\frac{1}{m}$ — 必ず「逆数 $\times$ $(-1)$」になる。

掛け算で確かめると

$$m\times \left(-\frac{1}{m}\right)=-1$$

積が $-1$。 これが公式の正体である。

(ベクトルを学ぶと、これは内積が $0$ と言い換えられる: $(1,3)\cdot (-3,1)=-3+3=0$ ✓。垂直 $=$ 内積 $0$ が、数Cでの標準的な言い方だ。)

さて、実戦的な技を紹介する。一般形なら、平行・垂直が一瞬で書ける。

直線 $y=3x-1$ を一般形にすると

$$3x-y-1=0$$

平行な直線は、定数項だけを変える。

$$3x-y+c=0$$

点 $(2,1)$ を通るので、代入して $6-1+c=0$ → $c=-5$。

$$3x-y-5=0(\text{つまり }y=3x-5)✓$$

垂直な直線は、$x$ と $y$ の係数を入れかえて、片方の符号を変える。

$$3x-y+c=0⟶x+3y+c^{\prime }=0$$

($3$ と $-1$ を入れかえて $-1$、$3$ → 符号調整して $1$、$3$。)点 $(2,1)$ を代入して $2+3+c^{\prime }=0$ → $c^{\prime }=-5$。

$$x+3y-5=0(\text{つまり }y=-\frac{1}{3}x+\frac{5}{3})✓$$

分数が出てこない。 $y=mx+k$ の形で計算すると $-\frac{1}{3}$ という分数を扱うことになるが、一般形なら整数のまま進められる。

まとめておく。 直線 $ax+by+c=0$ に対して

• 平行: $ax+by+c^{\prime }=0$(係数はそのまま、定数だけ変える)
• 垂直: $bx-ay+c^{\prime }=0$(係数を入れかえて、片方の符号を反転)

この $2$ 行は、計算を大幅に速くする。 特に「点と直線の距離」や「垂線の足」を求める問題では、一般形のまま進めるのが定跡だ。