3直線が三角形を作らない条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 直線が三角形を作らないのは $2$ 通り。場合を尽くす。

(A) どれか $2$ 直線が平行(交わらないので三角形にならない)。傾きを比べる。$x+y=1$ の傾き $-1$、$2x-y=4$ の傾き $2$、$ax+y=0$ の傾き $-a$。$-a=-1$ で $a=1$、$-a=2$ で $a=-2$。

(B) $3$ 直線が $1$ 点で交わる(共点だと三角形の内部がつぶれる)。前 $2$ 直線の交点を求め、$3$ 本目がそこを通る $a$ を出す。両方あわせて $a=1,-2,\frac{2}{5}$。

① 傾きを整理する。 $x+y=1$ は傾き $-1$、$2x-y=4$ は傾き $2$、$ax+y=0$ は傾き $-a$。

② (A) 平行になる。 第 $3$ 直線が他のどちらかと平行:

• $-a=-1$ → $a=1$(第 $1$ 直線と平行)
• $-a=2$ → $a=-2$(第 $2$ 直線と平行)

③ (B) $3$ 直線が共点。 第 $1$、第 $2$ 直線の交点を求める。$x+y=1$ と $2x-y=4$ を足すと $3x=5$、$x=\frac{5}{3}$、$y=1-\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}$。交点 $\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)$ を第 $3$ 直線 $ax+y=0$ が通る:

$$a\cdot \frac{5}{3}-\frac{2}{3}=0⟹5a=2⟹a=\frac{2}{5}$$

④ まとめる。 $a=1,-2,\frac{2}{5}$。

まとめ:「三角形を作らない」は「平行 or 共点」の $2$ 場合を漏れなく。平行は傾きの一致、共点は他 $2$ 直線の交点を通る条件。$3$ つの $a$ が出る。

発展 — 一歩先へ。 $3$ 直線 $a_{i}x+b_{i}y+c_i=0$ が三角形をなさない条件は、係数の $3\times 3$ 行列式 $=0$。行列式 $=0$ は「$3$ 本が平行または $1$ 点で交わる」を一度に表す。連立方程式が解をもつ・もたない・無数にもつの判定(クラメルの公式)と直結し、線形代数の基本だ。

別解

別解 — 連立の解の存在で「三角形をなす」を判定する(得意な人向けの視点)。 $3$ 直線が三角形をなす $⟺$ どの $2$ 本も交わり、$3$ 本が $1$ 点に集まらない。これを「$3$ 本のうち $2$ 本ずつの交点が $3$ 個できて、互いに異なる」と読む。

平行(交点が無限遠)になるのは傾きの一致。$-a=-1$($a=1$)、$-a=2$($a=-2$)で $3$ 本目が他のどちらかと平行。

共点(交点が $1$ 個に潰れる)は、前 $2$ 直線 $x+y=1$、$2x-y=4$ の交点を $3$ 本目が通るとき。交点は連立して $\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)$。$a\cdot \frac{5}{3}-\frac{2}{3}=0$ から $a=\frac{2}{5}$。

$3$ 直線の係数行列の行列式 $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 2& -1& -4\\ a& 1& 0\end{array}\right|=0$ が「平行または共点」($3$ 本が三角形をなさない)の統一条件で、これを解くと $a=1,-2,\frac{2}{5}$ がすべて出る。場合分け(本解)を $1$ つの行列式にまとめられる。