数学II / 図形と方程式

直線に関する対称点

★★ 標準対称点

問題

直線 $x + y - 4 = 0$ に関して、原点 $O (0, 0)$ と対称な点 $P$ の座標を求めよ。

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対称の定義に戻ろう。 $P$ と $O$ の関係を『中点がどこにあるか』と『結んだ線が軸とどう交わるか』の $2$ つの条件で式にすると、未知数 $2$ つ・条件 $2$ つでちょうど解ける。

解答・解説

対称点には2つの条件がある。「 $OP$ の中点が直線上にある」ことと、「直線 $OP$ が対称の軸に垂直」なこと。この2式で $P$ を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「直線に関して対称」を、式の条件に翻訳する。条件は2つある。

① $OP$ の中点が、対称の軸(直線)の上にある。②直線 $OP$ が、軸と垂直である。

$P = (p, q)$ とおいて、この2条件を連立すれば $p, q$ が決まる。折り紙で折ったときの「折り目に対する重なり」を、中点と垂直の2言語で書いたものだ。

重要対称点

P

:①

OP

の中点が軸(直線)上 ②直線

OP

が軸に垂直

$P (a, b)$ とおく。

条件① 中点が軸上。 $OP$ の中点 $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ が $x + y - 4 = 0$ 上にあるので

$\frac{a}{2} + \frac{b}{2} - 4 = 0 \Rightarrow a + b = 8$

条件② 垂直。軸の傾きは $- 1$ 。直線 $OP$ の傾き $\frac{b}{a}$ との積が $- 1$ 。

$\frac{b}{a} \times (- 1) = - 1 \Rightarrow b = a$

2式から $a = b = 4$ 。よって $P (4, 4)$ 。

軸 x+y=4 に関して O と対称な点 P(4,4)

発展 — 一歩先へ。 対称点の技の代表的な使い道が「川で水をくんで帰る最短経路」型の問題だ。直線の向こうへ点を折り返すと、折れ線の長さが1本の線分の長さに化けて、最短が一目で決まる。

「直線 $y = x$ に関する対称」は座標の入れかえ $(x, y) \to (y, x)$ という特別に美しい形になり、数学IIIの逆関数のグラフの対称性として再登場する。

答

$P (4, 4)$

「垂線の足まで行って、同じだけ進む」2段ルートだと、連立が小さくなる。

まず原点から軸 $x + y = 4$ に下ろした垂線の足 $H$ を求める。垂線は原点を通り傾き $1$ (軸の傾き $- 1$ と垂直)だから $y = x$ 。軸との交点で $H = (2, 2)$ 。

対称点は、 $H$ からさらに同じ矢印だけ進んだ先だ。

$P = 2 H - O = (4, 4)$

「足を求める」計算は交点1回で済み、倍に伸ばすのは掛け算だけ。2条件の連立と同じ答えに着くが、図の動き(降りて、突き抜ける)がそのまま計算になっているぶん、状況を見失いにくい。光の反射の問題(最短経路)でも、この足→倍進むの手順がそのまま使える。