2点間の距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 点の距離は、三平方の定理そのものだ。

$2$ 点を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を、頭の中で(できれば図の上で)作る。

• 横の長さ: $x$ 座標の差 $=4-1=3$
• 縦の長さ: $y$ 座標の差 $=6-2=4$

斜辺は三平方の定理で。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$

公式として書くと

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

$2$ 乗するので、引き算の順序はどちらでもよい($3^2$ でも $(-3{)}^2$ でも $9$)。ここは気楽に構えてよいところだ。

$x$ の差は $4-1=3$、$y$ の差は $6-2=4$。それぞれ2乗して足し、ルートをとる。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

発展 — 一歩先へ。 「距離」の測り方は、実は $1$ 通りではない。

私たちがふだん使うのはユークリッド距離(直線距離)だ。

$$\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$$

しかし、碁盤の目の街を歩くときはどうか。ビルを突っ切れないので、横に $3$ 進み、縦に $4$ 進むしかない。

$$|\Delta x|+|\Delta y|=3+4=7$$

これをマンハッタン距離という(ニューヨークの街路にちなむ)。同じ $2$ 点なのに、距離が $5$ にも $7$ にもなる。

「距離」とは、目的に応じて選ぶ物差しなのだ。

• ユークリッド距離: カラスが飛ぶ最短距離。幾何学の標準
• マンハッタン距離: 街を歩く距離。都市計画、回路設計
• チェビシェフ距離($\max (|\Delta x|,|\Delta y|)=4$): チェスの王が動く手数

数学は「距離とは何か」を抽象化した。 次の $3$ 条件を満たすものは、すべて距離と呼んでよい。

1. $d(\mathrm{A},\mathrm{B})\geqq 0$、$=0$ となるのは $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ のときだけ
2. $d(\mathrm{A},\mathrm{B})=d(\mathrm{B},\mathrm{A})$(対称性)
3. $d(\mathrm{A},\mathrm{C})\leqq d(\mathrm{A},\mathrm{B})+d(\mathrm{B},\mathrm{C})$(三角不等式 — 寄り道すると長くなる)

この $3$ 条件を満たせば、何を距離と呼んでもよい。 文字列の「編集距離」(何文字変えれば別の文字列になるか)や、遺伝子の「進化距離」まで、同じ枠組みで扱える。

当たり前に見える $\sqrt{9+16}$ の裏に、「測るとは何か」という深い問いがある。

別解

距離の公式は「三平方の定理の言い換え」にすぎない。 そのことを確認したうえで、$3$ 次元への拡張と、距離が主役になる場面を見ておこう。

まず、絵で確認する。

$\mathrm{A}(1,2)$ から真横に進んで $x=4$ まで行き、そこから真上に進んで $\mathrm{B}(4,6)$ に着く — カギ型の経路を考える。

• 横に進んだ距離: $3$
• 縦に進んだ距離: $4$

この $2$ 辺を持つ直角三角形の、斜辺が $\mathrm{AB}$ である。

$${\mathrm{AB}}^2=3^2+4^2=9+16=25⟹\mathrm{AB}=5$$

$3$、$4$、$5$ の直角三角形が現れた。教科書でおなじみの組だ。

距離の公式を「覚える」必要はない。 座標の差を $2$ 辺とする直角三角形を描けば、三平方の定理がすべてを教えてくれる。

$3$ 次元でも、同じ形で拡張される。

$$\mathrm{AB}=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2+(\Delta z{)}^2}$$

たとえば $(0,0,0)$ と $(1,2,2)$ の距離は

$$\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$$

なぜ $3$ 乗根ではなく、平方根のままなのか。 三平方の定理を $2$ 回使っているからだ。まず床の上で $\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$ を出し、次にそれと高さ $2$ で直角三角形を作る($\sqrt{5+4}=3$)。$2$ 段重ねの三平方 — だから足す項が増えるだけで、根号の形は変わらない。

$4$ 次元でも、$100$ 次元でも同じだ。 データ分析では、$100$ 個の特徴を持つデータ点どうしの「距離」を、この公式で測る。距離の概念は、次元を選ばない。

そして、距離が主役になる場面。

• 円: 「中心からの距離が一定」の点の集まり($\Rightarrow$ 円の方程式)
• 垂直二等分線: 「$2$ 点から等距離」の点の集まり
• 楕円: 「$2$ 定点からの距離の和が一定」
• 放物線: 「定点と定直線からの距離が等しい」

この単元(そして数Cの $2$ 次曲線)は、「距離の条件」を「方程式」に翻訳する技術でできている。

$$\text{幾何の条件(距離)}⟷\text{代数の式(方程式)}$$

距離の公式は、その翻訳の第一歩なのだ。$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ という式を書けることが、円も、軌跡も、すべての出発点になる。